§5. Экстремум функции двух переменных.
    Точка M0(x0,y0) является точкой максимума (минимума) функции z = f(x,y), если найдется такая окрестность точки M0, что для всех точек M(x,y) из этой окрестности выполняется неравенство f(x,y)< f(x0,y0) ( f(x,y)> f(x0,y0)).
    Точки максимума и минимума называются точками экстремума.
    
    
    
    Сформулируем необходимое условие экстремума. Если в точке экстремума существует первая частная производная (по какому-либо аргументу), то она равна нулю.
    Точки экстремума дифференцируемой функции (то есть функции, имеющей непрерывные частные производные во всех точках некоторой области) надо искать только среди тех точек, в которых все первые частные производные равны нулю.
    Там, где выполняется необходимое условие, экстремума может и не быть (здесь полная аналогия с функцией одной переменной).
    Пример: z = xy; zx? = y; zy? = x; zx?(0,0) = 0; zy?(0,0) = 0.
    Обе частные производные в точке (0,0) обращаются в 0. Однако точка (0,0) не является точкой экстремума, так как в ней самой z = 0, а в любой её окрестности есть точки, где z(x,y) > 0 (это точки, лежащие внутри первого и третьего координатных углов), и есть точки, где z(x,y) < 0 (это точки, лежащие внутри второго и четвертого координатных углов).
    Для ответа на вопрос, является ли точка области определения функции точкой экстремума, нужно использовать достаточное условие экстремума. Ниже приводится его формулировка.
    Пусть zx?(x0,y0) = 0 и zy?(x0,y0) = 0, а вторые частные производные функции z непрерывны в некоторой окрестности точки (x0,y0). Введем обозначения: A = zxx??(x0,y0); B = zxy??(x0,y0); C = zyy??(x0,y0); D = AC - B2.
    Тогда, если D < 0, то в точке (x0,y0) экстремума нет.
    Если D > 0, то в точке (x0,y0) экстремум функции z, причем если A > 0, то минимум, а если A < 0, то максимум.
    Если D = 0, то экстремум может быть, а может и не быть. В данном случае требуются дополнительные исследования.
    Исследование функции двух переменных на экстремум сводится к следующему: сначала выписываются необходимые условия экстремума: zx?(x,y) = 0; zy?(x,y) = 0 которые рассматриваются как система уравнений. Ее решением является некоторое множество точек. В каждой из этих точек вычисляются значения D и проверяется выполнение достаточных условий экстремума. §6. Метод наименьших квадратов
    Пусть проводится n однородных испытаний или экспериментов, и результатом каждого испытания является пара чисел - значений некоторых переменных x и y. Испытание с номером i приводит к числам xi, yi. В качестве испытания можно, например, рассматривать выбор определенного предприятия в данной отрасли промышленности, величиной x считать объем производства продукции (например в миллионах рублей), величиной y - объем экспорта этого вида продукции (в миллионах рублей), и обследовать n предприятий отрасли.
    Итогом этих испытаний является таблица: . . . . . . где каждому числу xi (величину рассматриваем как независимый показатель или фактор) поставлено в соответствие число (величину рассматриваем как зависимый показатель - результат).
    В качестве значений часто рассматриваются моменты времени: t1, t2, ..., tn, взятые через равные промежутки. Тогда таблица . . . . . . называется временным рядом.
    Нас интересует вопрос, как найти приближенную формулу для функции y = f(x), которая "наилучшим образом" описывала бы данные таблицы.
    Пусть точки с координатами (xi,yi) группируются на плоскости вдоль некоторой прямой. ............