Симметрии многогранника системы независимости О.В. Червяков, Омский государственный университет, кафедра математического моделирования 1. Введение
    Пусть E = { e1,e2,?,en} - некоторое множество мощности n. Системой независимости на множестве E называется непустое семейство J его подмножеств, удовлетворяющее условию: если J?и I?, то I.
    Множества семейства называется независимыми множествами. Максимальные по включению множества из называются базисами.
    Автоморфизмом системы независимости называется такое взаимооднозначное отображение ? множества E на себя, что ?(I)?{?(e) | e?I}для любого независимого множества I. Группу автоморфизмов системы независимости будем обозначать через Aut().
    Пусть RE - евклидово пространство, ассоциированное с E посредством взаимоодназначного соответствия между множеством координатных осей пространства RE и множеством E. Иными словами, RE можно понимать как совокупность вектор-столбцов размерности n с вещественными компонентами, индексированными элементами множества E. Всякому S?? E сопоставим его вектор инциденций по правилу: xSe= 1 при e?S , xSe= 0 при e?S. Очевидно, что это правило задает взаимооднозначное соответствие между 2E и вершинами единичного куба в RE. Многогранник системы независимости определим как P() = Conv(xI | I). Ясно, что векторы инциденций независимых множеств системы независимости , и только они, являются вершинами многогранника P() [4].
    Пусть P?RE - произвольный многогранник. Симметрией многогранника P назовем такое невырожденное аффинное преобразование ? пространства RE, что ?(P)?{?(x) | x?P}=P. Как известно, всякое невырожденное аффинное преобразование ? определяется невырожденной (n?n)-матрицей A и сдвигом h?RE, то есть ?(x)=Ax+h при x?RE [1]. Очевидно, что невырожденное аффинное преобразование ? пространства RE является симметрией многогранника P() тогда и только тогда, когда для любого I существует такое J, что ?(xI) = xJ.
    Симметрию с нулевым сдвигом будем называть линейной симметрией. Очевидно, что множество всех симметрий многогранника P является группой относительно суперпозиции отображений, а множество линейных симметрий - ее подгруппой. Группу симметрий многогранника P мы будем обозначать через S(), а ее подгруппу линейных симметрий - через L().
    Ранее в [3] была доказана изоморфность групп L() и Aut() для матроида , в [2] - изоморфность группы линейных симметрий многогранника паросочетаний и группы автоморфизмов соответствующего графа. Пользуясь аналогичными методами, легко доказать изоморфность групп L() и Aut() для произвольной системы независимости .
    В настоящей работе показано, что группа симметрий многогранника системы независимости выписывается с помощью подгруппы L() и семейства некоторых специальных преобразований пространства RE.
    Рассмотрим задачу комбинаторной оптимизации на системе независимости с аддитивной целевой функцией:
     (1) где ve?0 - вес элемента e?E. Пусть имеется симметрия многогранника P со сдвигом xH. Тогда задача (1) сводится к задаче, размерность которой не больше, чем ?E?-?H?.
    Ниже приведены понятия и факты, необходимые для дальнейшего изложения.
    Пусть H. H-отображением будем называть линейное невырожденное преобразование ? пространства RE, удовлетворяющее условию: для любого I существует такое J, что ?(xI) = xJ?H, где под J?H подразумевается симметрическая разность множеств J и H. ............