Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины Математический факультет Кафедра Дифференциальных уравнений
Курсовая работа «Системы, эквивалентные системам с известным типом точек покоя» Гомель 2005
Реферат
Курсовая работа состоит из 14 страниц, 2-х источников.
Ключевые слова: вложимая система, с известным типом точек покоя, первый интеграл дифференциальной системы, отражающая функция, класс систем эквивалентных системе с известным типом точек покоя, непрерывно дифференцируемая функция.
Целью курсовой работы является исследование системы с известным типом точек покоя, нахождение первого интеграла системы, применение теоремы об эквивалентности дифференциальных систем.
Содержание
Введение
Определение вложимой системы. Условия вложимости
Общее решение системы
Нахождение первого интеграла дифференциальной системы и условия его существования
Отражающая функция
Применение теоремы об эквивалентности дифференциальных систем
Заключение
Список использованных источников
Введение
В курсовой работе рассматривается вложимая система с изаестным типом точек покоя. Как известно система является вложимой, если любая компонента этой системы вложима, т.е. система вложима тогда и только тогда, когда множество её решений является подмножеством множества решений некоторой линейной стационарной системы.
В 1–2 м пунктах рассматривается вложимая система, с известным типом точек покоя. Далее проверяем являются ли x и y общим решением нашей системы уравнений.
Во 3-м мы находим первый интеграл системы и проверяем выполнение тождества.
В 4-м пункте применяем теорему об эквивалентности дифференциальных систем.
1. Определение вложимой системы. Условия вложимости
Рассмотрим дифференциальную систему
D. (1)
Будем называть i-ю компоненту x системы (1) вложимой, если для любого решения x(t)=(x(t),…, x(t)), t, этой системы функция xt, является квазимногочленом. Таким образом i-я компонента системы (1) вложима тогда и только тогда, когда для каждого решения x(t) этой системы существует линейное стационарное уравнение вида
, (2)
для которого является решением.
Вообще говоря, порядок и коэффициенты уравнения (2) зависят от выбора решения . В частном случае, когда компонента любого решения системы (1) является одновременно и решением некоторого, общего для всех решений уравнения (2), компоненту системы (1) будем называть сильно вложимой в уравнение (2).
2. Общее решение системы
Рассмотрим вложимую систему
(1)
(b>0 и а-постоянные) с общим решением
, если с0;
x=0, y=at+c, если с=0, где постоянные с, с, с связаны соотношением с(b+c+c)=a, имеет два центра в точкахи .
Решение:
Подставим общее решение
в нашу систему (1) получим
==c(ccosct-csinct)=
a-
Для краткости распишем знаменатель и преобразуем
x+y+b=
=
=a+c(csinct+ccosct)
a-
Получаем, что x и y являются общим решением системы.
3. Нахождение первого интеграла дифференциальной системы и условия его существования
Рассмотрим систему = f (t, x), x= (x,…, x), (t, x) (1) с непрерывной в области D функцией f. ............