Собственные значения. 1. ВВЕДЕНИЕ
    Целый ряд инженерных задач сводится к рассмотрению систем уравнений, имеющих единственное решение лишь в том случае, если известно значение некоторого входящего в них параметра. Этот особый параметр называется характеристическим, или собственным, значением системы. С задачами на собственные значения инженер сталкивается в различных ситуациях. Так, для тензоров напряжений собственные значения определяют главные нормальные напряжения, а собственными векторами задаются направления, связанные с этими значениями. При динамическом анализе механических систем собственные значения соответствуют собственным частотам колебаний, а собственные векторы характеризуют моды этих колебаний. При расчете конструкций собственные значения позволяют определять критические нагрузки, превышение которых приводит к потере устойчивости.
    Выбор наиболее эффективного метода определения собственных значений или собственных векторов для данной инженерной задачи зависит от ряда факторов, таких, как тип уравнений, число искомых собственных значений и их характер. Алгоритмы решения задач на собственные значения делятся на две группы. Итерационные методы очень удобны и хорошо приспособлены для определения наименьшего и наибольшего собственных значений. Методы преобразований подобия несколько сложней, зато позволяют определить все собственные значения и собственные векторы.
    В данной работе будут рассмотрены наиболее распространенные методы решения задач на собственные значения. Однако сначала приведем некоторые основные сведения из теории матричного и векторного исчислений, на которых базируются методы определения собственных значений. 2. НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ, НЕОБХОДИМЫЕ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
    В общем виде задача на собственные значения формулируется следующим образом:
    AX = ?X,
    где A - матрица размерности n х n. Требуется найти n скалярных значений ? и собственные векторы X, соответствующие каждому из собственных значений.
    Основные определения матричного исчисления
    1. Матрица A называется симметричной, если
    аij = аij, где i, j = 1, 2, . . ., n.
    Отсюда следует симметрия относительно диагонали
    аkk, где k == 1, 2, . . ., n.
    Матрица
    
    1 4 5 4 3 7 5 7 2
    является примером симметричной.
    2. Матрица A называется трехдиагональной, если все ее элементы, кроме элементов главной и примыкающих к ней диагоналей, равны нулю. В общем случае трехдиагональная матрица имеет вид
    
     * * 0 * * * * * * . . . . . . * * * 0 * * * * *
    Важность трехдиагональной формы обусловлена тем, что некоторые методы преобразований подобия позволяют привести произвольную матрицу к этому частному виду.
    
    3. Матрица A называется ортогональной, если
    АТА = Е,
    где Ат-транспонированная матрица A, а Е-единичная матрица. ............