Міністерство освіти і науки України
Донбаський державний технічний університет
Кафедра Вищої Математики
КОНТРОЛЬНА РОБОТА
По дисципліні “Теорія ймовірностей та математична статистика”
Варіант №26
(завдання №14, 2, 4, 12, 11, 15, 2, 14, 3, 6)
Виконала: студентка групи
Перевірила: доцент кафедри вищ. мат.
Алчевськ 2009
РОЗДІЛ I “ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ”
ЗАВДАННЯ №1
14) В урні 2 білі і 3 чорні кульки. Двоє по черзі беруть навмання по одній кульці. Яка імовірність того, що з них перша біла, а друга чорна?
РОЗВ’ЯЗАННЯ
Для білої:
Для чорної:
Загальна вірогідність:
або
ЗАВДАННЯ №2
2) В першій урні 3 білих і 2 чорних кульки, а в другій 4 білих і 4 чорних кульки. З першої урни в другу навмання перекладають одну кульку, потім з другої урни взяли одну кульку. Яка імовірність, що вона біла?
РОЗВ’ЯЗАННЯ
Вірогідність того, що з першої урни переклали білу кульку:
Вірогідність того, що з другої урни узяли білу кульку:
ЗАВДАННЯ №3
4) 4.1 Обчислити ймовірність того, що деяка подія не відбудеться, якщо відомо, що при випробуваннях вона в середньому відбувається в випадках.
РОЗВ’ЯЗАННЯ
4.2 З 60 питань, що входять до екзаменаційних білетів, студент підготував 50. Яка ймовірність того, що взятий навмання студентом білет, який містить два питання, буде складатися з підготовлених ним питань?
РОЗВ’ЯЗАННЯ
4.3 Яка ймовірність того, що серед вийнятих навмання 4 карт з повної колоди (52 карти), дві виявляться пікової масті?
РОЗВ’ЯЗАННЯ
ЗАВДАННЯ №4
12) Проведено незалежних випробувань, в кожному з яких може відбутися подія з імовірністю .
I) за локальною теоремою Муавра-Лапласа знайти імовірність того, що подія відбудеться рівно разів;
II) за інтегральною теоремою Муавра-Лапласа знайти імовірність того, що подія відбудеться від 700 разів до разів.
РОЗВ’ЯЗАННЯ
I)
1) Скористуємось формулою Муавра-Лапласа:
2) Знайдемо :
3) Знайдемо :
4) Шукана ймовірність:
II)
За інтегральною теоремою Лапласа:
1) Знайдемо межі інтеграла і :
2) Знайдемо функції Лапласа і :
3) Шукана ймовірність:
ЗАВДАННЯ №5
11) Дискретна випадкова величина задана рядом розподілу. Знайти функцію розподілу і побудувати її графік. Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової величини.
Х 2 4 5 Р 0,2 0,6 0,2
РОЗВ’ЯЗАННЯ
1) Математичне сподівання знайдемо за формулою:
2) Складемо закон розподілу для :
Х 4 16 25 Р 0,2 0,6 0,2
3) Дисперсію знайдемо за формулою:
4) Середнє квадратичне відхилення знайдемо за формулою:
5) Знайдемо функцію розподілу:
6) Графік цієї функції має вигляд:
ЗАВДАННЯ №6
15) Випадкова величина задана функцією розподілу:
Знайти:
I) щільність розподілу ймовірності;
II) математичне сподівання;
III) дисперсію випадкової величини;
IV) імовірність попадання випадкової величини в інтервал ;
V) Накреслити графіки функцій і .
РОЗВ’ЯЗАННЯ
I) щільність розподілу ймовірностей:
II) математичне сподівання:
III) дисперсія:
IV) імовірність того, що випадкова величина прийме значення з інтервалу
V) Графіки функцій і :
ЗАВДАННЯ №7
2) Відоме математичне сподівання і дисперсія випадкової величини .
Знайти:
I) імовірність попадання цієї величини в заданий інтервал ;
II) імовірність того, що абсолютна величина відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання менша за число .
РОЗВ’ЯЗАННЯ
I) Імовірність влучення випадкової величини у інтервал :
II) Імовірність того, що абсолютна величина відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання буде менше 2, можна обчислити за формулою:
РОЗДІЛ II
14) РОЗРАХУНКОВА РОБОТА №1 “СТАТИСТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ВИБІРКИ”
23 26 31 35 38 43 48 39 36 27 43 39 37 34 31 27 21 33 32 44 24 28 30 35 33 39 40 41 46 36 42 39 35 32 27 29 33 35 38 41 25 30 30 31 32 34 36 37 38 40
перший інтервал 21-25
Представити кожну вибірку у вигляді таблиці частот згрупованої вибірки, побудувати гістограму і полігон частот, записати емпіричну функцію розподілу і побудувати їх графік.
РОЗВ’ЯЗАННЯ
1) Складемо таблицю частот згрупованої вибірки:
Межі інтервалу
xi xi+1
Середина інтервалу
xi0
Частота
ni
Накопичувальна частота
Σni
Відносна частота
ni/n
Накопичувальна відносна частота
Σni/n
21 25
23 4 4 0,08 0,08
25 29
27 6 10 0,12 0,20
29 33
31 12 22 0,24 0,44
33 37
35 11 33 0,22 0,66
37 41
39 11 44 0,22 0,88
41 45
43 4 48 0,08 0,96
45 49
47 2 50 0,04 1
2) Побудуємо гістограму частот:
3) Побудуємо полігон частот:
4) Емпірична функція розподілу визначається значеннями накопичувальних відносних частот:
5) Графік розподілу емпіричної функції:
6) Знайдемо методом творів вибіркову середню і вибіркову дисперсію по заданому розподілу вибірки об'єму n=50:
Середина інтервалу xi0
23 27 31 35 39 43 47
Частота ni
4 6 12 11 11 4 2
6.1) Складемо заповнимо таблицю:
хi0
ni
Ui
ni×Ui
ni×Ui2
ni×(Ui+1)2
23 4 -2 -8 16 4 27 6 -1 -6 6 0 31 12 0 0 0 12 35 11 1 11 11 44 39 11 2 22 44 99 43 4 3 12 36 64 47 2 4 8 32 50 39 145 273
6.2) Обчислимо умовні моменти 1-го і 2-го порядку:
6.3) Знайдемо крок h (різниця між сусідніми інтервалами): .
6.4) Обчислимо шукані, вибіркові, середню дисперсію, враховуючи що помилковий нуль :
3) РОЗРАХУНКОВА РОБОТА №2
“МЕТОД НАЙМЕНЬШИХ КВАДРАТІВ”
За наданими статистичними даними підібрати емпіричну функцію, якщо вона не задана, та:
1. ............
