Тождественные преобразования алгебраических выражений
    Карпова Ирина Викторовна, старший преподаватель кафедры алгебры ХГПУ
    1. Алгебраическим выражением называется выражение, составленное из конечного числа букв и чисел, соединенных знаками действий сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечение корня.
    Все алгебраические выражения (А.В) по действиям, которые производятся над буквами можно классифицировать следующим образом:
    Буквы, входящие в А.В могут принимать значения из некоторого числового множества, которое называется множеством допустимых значений или областью определения А.В.
    Так, в рассмотренных выше примерах 1) и 2) значениями букв, входящих в А.В могут быть любые числа. В общем случае область определения (О.О.) целых алгебраических выражений может быть любым числовым множеством.
    Так как делить на выражение равное нулю нельзя, то с и b в пр.3) могут принимать любые числовые значения, кроме с=0 и b=0, таким образом О.О. А.В из пр.3) с?0, b?0. На этом же основании О.О. А.В из пр.4) x+y?0 или х?y.
    В общем случае О.О. дробно-рационального А.В не включает те значения, входящих в выражение букв, при которых знаменатель дробей в выражении обращается в нуль.
    Область определения А.В из пр.5) а?b, b?0 и а>0 т.к. выражение стоящее под знаком корня четной степени должно быть, по определению арифметического корня, неотрицательным.
    О.О. А.В из пр.6) х+1?0 или х?-1.
    В общем случае О.О. иррационального выражения включает только те значения букв, при которых выражения, стоящие под знаком корня четной степени принимают неотрицательные значения.
    Тождеством называется равенство двух А.В справедливое для любых допустимых значений, входящих в него букв.
    Равенство (a+b)2=a2+2ab+b2 справедливое для любых a и b есть тождество.
    Равенство является тождеством только для а?1.
    Тождественным преобразованием А.В называется замена одного А.В другим тождественно ему равным, но отличным по форме.
    a3+3a2b=a2(a+3b)
    при с?0.
    Целью тождественных преобразований (Т.П) может быть приведение выражению вида, более удобного для численных расчетов или дальнейших преобразований.
    К Т.П относятся:
    приведение подобных членов
    раскрытие скобок
    разложение на множители
    приведение алгебраических дробей к общему знаменателю
    избавление от иррациональности в знаменателе и т.п.
    2. Рассмотрим тождественные преобразования А.В.
    Для успешного осуществления Т.П. целых А.В нужно помнить:
    Формулы сокращенного умножения
    (a ? b)2 = a2 + 2ab + b2
    a3 ? b3 = (a ? b)( a2ab+b2)
    (a ? b)3 = a3 ? 3a2b + 3ab2 ? b3
    a2 - b2 = (a + b)(a - b)
    Свойства степени с целыми показателями
    
    
    
    
    
    Формулы корней квадратного трехчлена ax2 + bx + c
    
    Теорему Виета х1 и х2 - корни ax2 + bx + c в том и только том случае, если
    
    Разложение квадратного трехчлена ax2 + bx + c на множители.
    Если х1, х2 - корни трехчлена, то ax2 + bx + c = а(х-х1)(х-х2)
    Рассмотрим несколько примеров тождественных преобразований целых А.В.
    Пример 1. ............