Целая и дробная части действительного числа. Т.С. Кармакова, доцент кафедры алгебры ХГПУ
    В различных вопросах теории чисел, математического анализа, теории рекурсивных функций и в других вопросах математики используются понятия целой и дробной частей действительного числа.
    В программу школ и классов с углубленным изучением математики включены вопросы, связанные с этими понятиями, но на их изложение в учебнике алгебры для 9 класса [1] отведено всего 34 строки. Рассмотрим более подробно эту тему.
    Определение 1
    Целой частью действительного числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее х.
    Целая часть числа обозначается символом [х ] и читается так: "целая часть х" или: "целая часть от х ". Иногда целая часть числа обозначается Е(х) и читается так: "антье х " или " антье от х ". Второе название происходит от французского слова entiere - целый.
    Пример.
    Вычислить [x], если х принимает значения:
    1,5; 3; -1.3; -4.
    Решение
    Из определения [x] следует:
    [1,5] = 1, т.к. 1Z, 1 1,5
    [ 3 ] = 3, т.к. 3Z, 3 3
    [-1,3]=-2, т.к. -2Z, -2 -1,3
    [-4] =-4, т.к. -4Z, -4-4.
    Свойства целой части действительного числа.
    1. [ x ] = x , если хZ
    2. [ x ] x [ x ] + 1
    3. [ x + m ] = [ x ] + m , где m Z
    Рассмотрим примеры использования этого понятия в различных задачах.
    Пример 1
    Решить уравнения:
    1.1[ x ] = 3
    [ x + 1,3 ] = - 5
    [ x + 1 ] + [ x - 2] - [x + 3 ] = 5
    1.4 [ x ]- 7 [ x ] + 10 = 0
    Решение
    1.1 [ x ] = 3. По свойству 2 данное уравнение равносильно неравенству 3 х 4
    Ответ : [ 3 ; 4 )
    [ x + 1,3 ] = - 5. По свойству 2 :
    - 5 х + 1,3 - 4 - 6,3 х - 5,3
    Ответ : [ -6,3 ; -5,3 )
    [ x + 1 ] + [ x - 2 ] - [ x + 3 ] = 5. По свойству 3:
    [ x ] + 1 + [ x ] - 2 - [ x ] - 3 = 5
    [ x ] = 9 9 x 10 (по 2 )
    Ответ : [ 9 ; 10 )
    1.4 [ x ]- 7 [ x ] + 10 = 0 Пусть [ x ] = t , тогда t - 7 t + 10 = 0 , т.е.
    
    Ответ : [ 2 ; 3 ) [ 5 ; 6)
    Пример 2.
    Решить неравенства:
    2.1 [ x ] 2
    [ x ] > 2
    [ x ] 2
    [ x ] < 2
    [ x ] - 8 [ x ] + 15 0
    
    Решение
    2.1 Согласно определению [ x ] и 1, этому неравенству удовлетворяют х
    Ответ : [ 2 ; ).
    2.2 Решение этого неравенства: х.
    Ответ : [ 3 ; ).
    2.3 x < 3
    2.4 x < 2
    2.5 Пусть [ x ] = t , тогда данное неравенство равносильно системе
    3
    Ответ : [ 3; 6 ).
    2.6 Пусть [ x ] = t , тогда получим .
    Ответ : (-.
    Пример 4.
    Постройте график функции y = [ x ]
    Решение
    1). ООФ: х R
    2). МЗФ: y Z
    
    3). Т.к. при х [ m ; m + 1), где m Z , [ x ] = m, то и y = m, т.е. график представляет совокупность бесконечного множества горизонтальных отрезков, из которых исключены их правые концы. Например, х [ -1 ; 0 ) [ x ] = -1 y = - 1 ; x [ 0; 1) [ x ] = 0 y = 0.
    Примечание.
    1. Имеем пример функции, которая задается разными аналитическими выражениями на разных участках.
    2. Кружочками отмечены точки, не принадлежащие графику.
    Определение 2.
    Дробной частью действительного числа х называется разность х - [ x ]. ............