Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева

Факультет математики и информатики

Кафедра математического анализа и методики его преподавания

Курсовая работа

по математическому анализу на тему

«Циклоида»

Выполнила студентка 43 группы

Ковальчук М.В.

Научный руководитель

доцент кафедры мат. анализа и мп

Шатохина М.П

Красноярск 2010

Оглавление

1.  Введение

2.  Исторические сведения

3.  Основные свойства циклоиды

4.  Построение циклоиды

5.  Геометрическое определение циклоиды

6.  Параметрическое уравнение циклоиды и уравнение в декартовых координата

7.  Задачи на нахождение частей циклоиды и фигур, образованных циклоидой

8.  Заключение

Литература 

Введение

Кривая циклоида очень интересна для изучения, однако не так просто найти литературу ей посвященную. В большинстве таких источников циклоида упоминается только вскользь или рассматривается не достаточно полно. Однако она используется при решении различных задач. В виду того, что в школах вводится углубленное изучение математических дисциплин, в скором времени может понадобиться подробная информация о различных кривых, в том числе и о циклоиде. Так же задачи связанные с циклоидой встречаются и в физике и в высшей математике. Поэтому я посчитала данную тему актуальной и интересной для изучения.

Цель работы: описать основные свойства циклоиды, привести решение геометрических задач, связанных с циклоидой.

1. Исторические сведения

Первым кто стал изучать циклоиду, был Галилео Галилей (1564-1642)_ знаменитый итальянский, астроном, физик и просветитель. Он же и придумал название «циклоида» , что значит : «напоминающая о круге». Сам Галилей о циклоиде ничего не писал, но о его работах в этом направлении упоминают ученики и последователи Галилея: Вивиани, Торичелли и другие.

Великий античный философ — «отец логики» — Аристотель из Стагиры (384—322 годы до н. э.), занимаясь логическим обоснованием понятия движения, рассматривал, между прочим, следующий парадокс.

рис. 1

Пусть кружок, изображенный на рис. 1 жирной линией, катится по прямой АВ. Когда кружок этот сделает полный оборот, точка М вернется на прямую АВ и займет положение Мх. При этом, как мы знаем, отрезок ММХ будет равен длине «жирной» окружности. Рассмотрим начерченный кружок с центром О, изображенный тонкой линией. Когда точка М придет в положение М1 этот маленький кружок тоже сделает полный оборот и его точка К придет в положение К1. При этом в каждый момент времени какая-то одна единственная точка маленькой окружности совмещается с единственной же точкой отрезка КК1. Каждой точке окружности соответствует единственная точка отрезка и каждой точке отрезка — единственная точка окружности. Поэтому напрашивается вывод: длина маленькой «тонкой» окружности равна длине отрезка КК1 — ММ1 т. е. равна длине большой («жирной») окружности. Итак, круги различных радиусов имеют окружности одинаковой длины! В этом и состоит парадокс Аристотеля.

Ошибка здесь в следующем. Из того, что каждой точке окружности радиуса ОК соответствует единственная точка отрезка КК1 вовсе не следует, что длина этой окружности равна КК1. Так, например, на рис. ............