Упругий и неупругий удар двух однородных шаров 1. Введение
    Столкновения движущихся тел присущи всем уровням Мироздания - от микроскопического до космического, поэтому ударные явления весьма многообразны. В динамике изучают влияние соударений на движение механических систем. Эта задача привлекала внимание многих известных ученых, включая Х. Гюйгенса, И. Ньютона, Ж. Даламбера, С. Пуансона, Г. Дарбу, Э. Дж. Рауса, А.М. Ляпунова, Н.Е. Жуковского, С.П. Тимошенко и многих других. Специфика ударов состоит в их интенсивности и скоротечности. Данное свойство может оказаться и полезным, как при забивке свай, добыче руды или игре в мяч, и опасным, как при транспортных происшествиях. Следовательно, проблема удара важна не только для теоретиков, но и для конструкторов, автолюбителей, спортсменов и др.
     2. Подходы в теории удара
    С физической точки зрения ударные силы - отклик на деформации, возникающие вблизи площадки контакта и волнообразно распространяющиеся в данных телах. Математические модели отражают этот процесс с большей или меньшей полнотой. В классической теории удара деформации не учитываются и проблема сводится к определению интегральных характеристик ударных сил - их импульсов. В основе этой теории лежат законы механики и некоторые дополнительные гипотезы.
    Рассмотрим для примера простейшую задачу о прямом ударе двух шаров с массами m1 и m2.
    
     На рисунке шары массой m1 и m2. до соударения имеют
     скорости v1- и v2- требуется найти их скорости после удара.
    
    
    
    
    Закон сохранения импульса выражается формулой:
     m1 v1i + m2 v2i = m1 v1 + m2 v2
    
    где v1i и v2i ; v1 и v2 соответствуют до - и послеударным значениям скоростей. Этого единственного уравнения недостаточно для определения двух неизвестных v1 и v2. Чтобы построить единственное решение, можно принять одну из следующих гипотез: суммарная кинетическая энергия при ударе сохраняется (абсолютно упругий удар), шары после удара не разделяются, т.е. v1 = v2 (абсолютно неупругий удар). Можно выбрать более общую гипотезу Ньютона, согласно которой
     v2 - v1 = e ( v1i - v2i )
    Коэффициент восстановления e, как экспериментально установил Ньютон, зависит от материала шаров и лежит в пределах от нуля до единицы.
    Волновая теория удара, восходящая к Б. Сен - Венану, наиболее полно описывает напряженное состояние соударяемых тел. В ее основе лежит довольно сложные уравнения математической физики, допускающие точное решение лишь в исключительных случаях. В общем случае использование волновой теории нецелесообразно, в частности, с ее помощью не удается решить рассмотренную задачу об ударе шаров.
    Компромиссом между этими двумя крайними подходами служат модели, частично учитывающие деформации. Идею таких методов предложил Даламбер, который мысленно помещал маленькую пружинку (деформируемый элемент) в точку ударного контакта. С математической точки зрения проблема удара сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений, что не представляет принципиальных трудностей. В вышеприведенном примере идеальная пружинка не рассеивает энергию, поэтому удар будет абсолютно упругим.
     3. ............