Реферат

на тему:

"Устойчивость линейных систем автоматического управления"

1. Общие понятия устойчивости

Устойчивость – это свойство системы возвращаться в исходное состояние после вывода ее из состояния равновесия и прекращения действия возмущения. Устойчивость – это одно из основных требований, предъявляемых к системе. Если система не устойчива, то она не работоспособна. Рассмотрим математическое понятие устойчивости.

Движение линейной системы автоматического управления описывается линейным, неоднородным уравнением:

при этом правая часть – входное воздействие, а левая – реакция выхода.

Решение уравнения можно записать в виде:

 (1)

где - представляет собой общее решение однородного уравнения и определяет переходный процесс; - представляет собой частное решение неоднородного уравнения и определяет установившийся режим.

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

, (2)

где: Ск – постоянные интегрирования, которые зависят от начальных условий; - корни характеристического уравнения:

Рассмотрим характер решения при различных значениях корней характеристического уравнения.

1. Если корни действительные однократные

 

2. Если корни действительные кратные

3. Если корни комплексно – сопряженные однократные

4. Пусть корни комплексно – сопряженные кратные

Для того чтобы система была устойчивой решение должно удовлетворять условию

 (3)

Это условие выполняется, если корни характеристического уравнения системы расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости P.

Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы корни ее характеристического уравнения располагались в левой полуплоскости комплексной плоскости P.

Характеристическое уравнение системы можно представить в виде:

 (4)

Если уравнение содержит хотя бы один положительный корень, то хотя бы один коэффициент характеристического уравнения будет отрицательным. Необходимое, но недостаточное условие устойчивости (при n > 2) системы – это положительность коэффициентов характеристического уравнения.

Для нахождения корней характеристического уравнения необходимо решать алгебраические уравнения. Аналитическое решение уравнений 3-го и 4-го порядка громоздки, а уравнение выше 4-го порядка не имеют аналитического решения.

В теории автоматического управления разработан ряд так называемых критериев устойчивости, которые позволяют, не решая уравнений определять устойчивость систем.

2. Критерий устойчивости Рауса-Гурвица

Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы при а0 >0 определитель Гурвица, составленный для характеристического уравнения , и все его диагональные миноры были положительны.

Определитель Гурвица имеет вид:

 (5)

Диагональные миноры определяются соотношениями

 (6)

Рассмотрим частные случаи

1.  Для системы первого порядка (n = 1) характеристическое уравнение имеет вид:

Условие устойчивости:

2.  Для системы второго порядка (n=2) характеристическое уравнение имеет вид:

3. 

Условие устойчивости:

4.  Для системы третьего порядка (n = 3) характеристическое уравнение имеет вид:

Условие устойчивости:

Для систем 1-го и 2-го порядка положительность коэффициентов характеристического уравнения является необходимым и достаточным условием устойчивости системы. ............