Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
Математический факультет
Кафедра дифференциальных уравнений
Дипломная работа
Устойчивость по Ляпунову
Гомель 2007
Оглавление
Введение
Устойчивость решений дифференциальных систем и функции Ляпунова
Устойчивость по Ляпунову
Метод функций Ляпунова. Теоремы Ляпунова
Методы построения функций Ляпунова
Понятие продолжимости решения. Признак Винтера-Еругина
Применение функций Ляпунова к исследованию продолжимости решений дифференциальных систем
Развитие метода функций Ляпунова
Функции Ляпунова и продолжимость решений дифференциальных уравнений
Продолжимость всех решений некоторых уравнений третьего порядка
Заключение
Список использованных источников
Введение
Понятие функций Ляпунова появилось в связи с развитием теории устойчивости, начало которой положили труды великого русского математика А.М. Ляпунова. Рождение теории устойчивости как самостоятельной научной дисциплины можно отнести ко времени появления докторской диссертации А.М. Ляпунова "Общая задача об устойчивости движения", впервые опубликованной в Харькове в 1892 году. За последние годы наблюдается бурный рост этой теории, вызванный потребностями развивающейся техники, в частности, теории автоматического регулирования и управления.
Развитие теории устойчивости движения осуществляется двумя путями: во-первых, расширением круга задач и, во-вторых, созданием новых и усилением уже известных методов исследования. Метод функций Ляпунова (известный также как второй или прямой метод Ляпунова) является одним из наиболее эффективных методов исследования устойчивости, чем вызвано и его широкое применение в теории управления. Значение его далеко не исчерпывается возможностью установления факта устойчивости или неустойчивости исследуемой системы. Удачно построенная функция Ляпунова для конкретной системы позволяет решать целый комплекс задач, которые имеют важное прикладное значение, например, получение оценки изменения регулируемой величины, оценки времени регулирования, оценки качества регулирования, оценки области притяжения (множества всех начальных возмущений, исчезающих во времени), оценки влияния постоянно действующих возмущений и другие.
Функции Ляпунова позволяют решать вопросы устойчивости в "большом", т.е. оценивать область начальных возмущений, не выходящих с течением времени за пределы заданной области. С помощью функций Ляпунова решается проблема существования или отсутствия периодических решений, устанавливается ограниченность и продолжимость всех решений заданной нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
В связи с широким применением функций Ляпунова возник вопрос универсальности этого метода. Решением этой задачи занимались Я.П. Персидский, Н.Н. Красовский, Е.А. Барбашин, Я. Курцвейль, Ж.Л. Массера и другие математики. Было установлено, что в теории устойчивости этот метод универсален для широкого круга задач. В этой связи возникла задача о методах построения функций Ляпунова. Следует заметить, что известные методы построения функций Ляпунова, разработанные для получения достаточных условий устойчивости, не являются достаточно эффективными, поскольку каждый из них приспособлен для исследования конкретных систем. ............
