Реферат з теми: вейвлет-перетворення
Вступ

Математичні перетворення застосовують до сигналу для того, щоб одержати про нього якусь додаткову інформацію, недоступну у вихідному вигляді. Серед багатьох відомих перетворень сигналів найбільш популярним є перетворення Фур'є (ПФ).

Більшість сигналів, що зустрічаються на практиці, представлені в часовій області, тобто сигнал є функцією часу. Таким чином, при відображенні сигналу на графіку однієї з осей координат є вісь часу, а іншою координатою – вісь амплітуд. Отже, ми одержуємо амплітудно-часове подання сигналу. Для більшості додатків обробки сигналу це подання не є найкращим. У багатьох випадках найбільш значима інформація прихована в частотній області сигналу.

Частотний спектр є сукупністю частотних компонентів, він відображає наявність тих або інших частот у сигналі. Як відомо, частота вимірюється в Герцах [Гц], або в числі періодів у секунду. На рис. 1 приведені три синусоїди з частотою 3Гц, 10Гц та 50Гц. Порівняємо їх.

Рисунок 1 – Синусоїди з частотою 3Гц, 10Гц та 50Гц

Найчастіше інформація, не помітна в часовому поданні сигналу, виявляється при його частотному поданні. Розглянемо як приклад біологічний сигнал, наприклад, електрокардіограму (ЕКГ). Типовий вид ЕКГ добре відомий кардіологам. Будь-яке значне відхилення від нього розглядається як патологія. Ця патологія, однак, не завжди може бути помітна при часовому поданні сигналу. Тому в останніх моделях електрокардіографів для аналізу використовується й частотна область сигналу. Рішення про патологію виноситься тільки з використанням інформації частотної області.

Крім ПФ існує й багато інших часто застосовуваних перетворень сигналу. Прикладами є перетворення Гільберта, віконне ПФ, розподіл Вігнера, перетворення Уолша, вейвлет-перетворення й багато інших. Для кожного перетворення можна вказати найбільш підходящу область застосування, переваги й недоліки, і вейвлет-перетворення (ВП) не є в цьому випадку винятком.

Для кращого розуміння потреби у ВП розглянемо докладніше ПФ. ПФ (так, як і ВП) є зворотним утворенням, тобто з його коефіцієнтів за допомогою зворотного перетворення може бути отриманий вихідний сигнал. Однак тільки одне з представлень доступне для нас у кожний момент часу: частотну інформацію не можна витягти з часової, а часову – з частотної. Виникає природне запитанння: чи можливо одержати спільне частотно-часове подання сигналу?

Як буде показано, відповідь залежить від конкретного додатка й від природи сигналу. Нагадаємо, що ПФ подає частотну інформацію, яка міститься в сигналі, тобто говорить нам про те, який зміст кожної частоти в сигналі. Однак у який момент часу виникла та або інша частота, коли вона закінчилася – на ці запитання відповідь одержати не вдасться. Втім, ця інформація не потрібна, якщо сигнал – стаціонарний.

Стаціонарними називаються сигнали, частотне наповнення яких не змінюється в часі. Тому при частотному аналізі таких сигналів не потрібна часова інформація – всі частоти присутні в сигналі протягом усього часу.

Наприклад, сигнал:

x(t)cos(210t)cos(225t)cos(250t)cos(2100t)

є стаціонарним, оскільки частоти, які є в ньому, 10, 25, 50 й 100 Гц не змінюються в часі. Цей сигнал зображений нижче (рис. 2):

Рисунок 2 – Стаціонарний сигнал з частотами 10, 25, 50 та 100 Гц

А тут показано його ПФ:

Рисунок 3 – Частотний спектр сигналу, показаного на рис. ............