Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси Абзалимов Р.Р.
    В настоящей работе предлагается метод расчета приближенных собственных чисел и собственных функций краевой задачи на полуоси для дифференциального уравнения второго порядка. Для численного расчета собственных чисел интервал заменяется на , после чего задача решается на конечном отрезке. Точность приближенных собственных чисел будет зависеть от выбора граничного условия в точке R.
    I. Регулярная задача
    Рассмотрим следующую краевую задачу:
    , (1.1)
    , (1.2)
    . (1.3)
    Здесь предполагается, что q(x) кусочно-непрерывна на [a, b]. Наряду с данной задачей рассмотрим дифференциальные операторы вида:
    , (1.4)
    
    с граничными условиями
    , (1.5)
    , (1.6)
    где
    . (1.7)
    Под собственными функциями краевой задачи (1.4)-(1.6) будем понимать функцию y(x), удовлетворяющую следующим условиям (см. [1]):
    ;
    ;
    удовлетворяет граничным условиям (1.5) и (1.6);
    удовлетворяет так называемым условиям сопряжения
    (1.8)
    В каждом интервале решения уравнения (1.4) имеют вид:
    . (1.9)
    Из условий сопряжения (1.8) и (1.9) имеем:
    , (1.10)
    где , выписываются явно (i=1,2; j=1,2; k=1..N). Таким образом, получаем:
    (1.11)
    Из первого краевого условия получаем зависимость от , затем, подставляя во второе краевое условие (1.6), получаем уравнение для собственных значений задачи (1.4)-(1.6):
    , (1.12)
    где выписывается явно.
    Пусть - собственные значения и - соответствующие им собственные функции задачи (1.4)-(1.6), где через h обозначено
    ,
    и пусть - собственные значения задачи (1)-(3) и соответствующие им собственные функции. Введем обозначение:
    . (1.13)
    Заметим прежде, что при .
    Тогда имеет место следующая
    ТЕОРЕМА 1.1 Справедливы равенства
    , (1.14)
    . (1.15)
    Доказательство. Вначале докажем равенство (1.15). Для этого рассмотрим уравнение (1.1) на интервале . Представим ее в виде
    , (1.16)
    где вычисляется по формуле (1.7). Для уравнения (1.16) получаем интегральные уравнения:
    ,
    .
    Применяя метод последовательных приближений, получаем:
    , (1.17)
    где - решения уравнения (1.4).
    Следовательно, для всего промежутка [0,] справедливо равенство (1.15).
    Из (1.15) нетрудно установить неравенство:
    , (1.18)
    где при .
    Тогда имеет место следующее равенство:
    (1.19)
    при , где - оператор Штурма-Лиувилля задачи (1.1)-(1.3), а - оператор задачи (1.4)-(1.6). Из (1.18) и (1.19) нетрудно показать справедливость оценки (1.14). ............