Министерство образования РФ
Московский авиационный институт
(государственный технический университет)
Филиал "Восход"
Кафедра МиПОИС
Курсовая работа
по курсу: Дифференциальные уравнения
Студент гр. ДА 2-40
Воронцов О. В.
Байконур 2005 г.
1. Теоретическая часть
Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным
Дифференциальные уравнения, которые приводятся к однородным, имеют вид:
Возможны три случая:
1) Когда C1=C2 =0
2) Когда
Когда
Вводятся новые переменные u и υ так, чтобы правая часть исходного уравнения в этих переменных была однородной функцией нулевого порядка. А именно, делается замена x=u+h, y= υ+k и подбираются постоянные h и k таким образом, чтобы в правой части исходного уравнения после подстановки пропали свободные члены. При подстановке x=u+h, y= υ+k в дробь приравниваются нулю свободные члены числителя и знаменателя, то есть записываются два равенства:
Определитель данной системы линейных алгебраических уравнений: , не равен нулю по условию, поэтому система имеет единственное решение, то есть существует единственная пара чисел h и k, такая что при подстановке x=u+h, y= υ+k правая часть исходного уравнения принимает вид , а само уравнение: . Полученное уравнение является однородным
2. Практическая часть
Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
Решение:
– дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
Разделим переменные:
Проинтегрируем выражение:
Ответ:
Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
Решение:
Следовательно, исходное уравнение является однородным.
Пусть
Произведём замену в исходном уравнении:
- дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
Разделим переменные:
Проинтегрируем а затем пропотенцируем выражение:
Но
Ответ:
Задача 3. Найти общий интеграл:
Решение:
- дифференциальное уравнение, приводящееся к однородному
Введём новые элементы:
,
где h и k должны удовлетворять уравнениям:
откуда
Таким образом:
откуда
Подставляя это в исходное уравнение, получим
Или
Сделаем подстановку:
-
дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
Упростим левую часть выражения
1+z=A(z-1)+Bz
Z1: 1=A+B A=-1
z0: 1=-A B=2
Проинтегрируем уравнение (**)
ln|z|–2ln|z–1|=ln|U|+C
Пропотенцируем и подставим значение z в выражение
Упрощая данное выражение, получим:
Ответ:
Задача 4. Найти решение задачи Коши:
Решение:
– линейное уравнение
Воспользуемся методом Бернулли:
a)
Разделим переменные:
Проинтегрируем а затем пропотенцируем данное выражение:
б)
Разделяя переменные, подставляя значение υ и интегрируя выражение получим:
Следовательно:
Найдём значение С2
y|п/4=1/2
Ответ:
Задача 5. Решить задачу Коши:
Решение:
- линейное уравнение
Воспользуемся методом интегрирующего множителя:
Ответ:
Задача 6. ............
