Кафедра: Высшая математика

Реферат

по дисциплине Высшая математика

Тема: «Общее понятие определённого интеграла, его геометрический и механический смысл. Необходимое условие интегрируемости»

Тольятти, 2008.

 

Содержание

 

Введение

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Определенный интеграл как предел интегральной суммы

Связь между определенным и неопределенным интегралами. Формула Ньютона-Лейбница

Свойства определенного интеграла

Геометрический смысл определенного интеграла

Механический смысл определенного интеграла

Необходимое условие интегрируемости

Список использованной литературы

 

Введение

Интеграл (от лат. integer – целый), одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой – измерять площади, объёмы, длины дуг, работу сил за определённый промежуток времени и т.п. Соответственно с этим различают неопределенные и определённые интегралы, вычисление которых является задачей интегрального исчисления.

Определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа – является мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Задача о пройденном пути.

Пусть известен закон изменения мгновенной скорости v = v(t). Определим путь, пройденный при движении точки за промежуток времени от t = α до t = β. Движение в общем случае предполагается неравномерным.

Поступим следующим образом.

1). Разобьем весь промежуток времени на n произвольных интервалов

t0 = α < t1< t2 < … < ti-1 < ti < … tn-1 < tn = β,

где ti – ti-1 = Δti. На произвольном участке [ti-1, ti] будем считать движение близким к равномерному с постоянной скоростью v = v(τi), ti-1 ≤ τi ≤ ti. Тогда за время Δti пройденный путь приближенно равен si = v(τi)Δti. Результат справедлив для каждого интервала (i = 1, 2, …, n).

2). Если указанные интервалы достаточно малы, то весь путь приближенно равен сумме:

Эта формула тем точнее, чем мельче разбиение данного промежутка времени.

3). Для получения точной формулы пути перейдем к пределу, увеличивая число дроблений (n→∞) и бесконечно измельчая сами интервалы. Обозначим λ = Δti, тогда

Задача о количестве вещества, вступившего в реакцию.

Пусть скорость химического превращения некоторого вещества, участвующего в химической реакции, есть функция времени v = v(t). Найти количество m вступившего в реакцию вещества за промежуток времени от t0 до T. Проделаем последовательно те же операции, что и при решении предыдущей задачи. В результате получим:

Работа переменной силы.

Пусть материальная точка под действием постоянной силы F перемещается по направлению этой силы. Если пройденный путь равен s, то, как известно из курса физики, работа Р этой силы F вычисляется по формуле: Р = FS.

Пусть теперь материальная точка движется по оси Ох от точки А(а) до точки B(b) (b>a) под действием переменной силы, направленной по Ох и являющейся функцией от х: F = f(x).

Для нахождения работы Р в этом случае разобьем отрезок [a; b] точками a = x0<x1<…<xn = b на n частичных отрезков и положим: Δxi = xi – xi-1, i = 1, 2, ..., n. ............