Определенный интеграл
Содержание
Лекция 1. Определенный интеграл
1. Понятие определенного интеграла
2. Геометрический смысл определенного интеграла
3. Основные свойства определенного интеграла
4. Формула Ньютона–Лейбница
5. Замена переменной в определенном интеграле
6. Интегрирование по частям
Лекция 2. Применение определенных интегралов. несобственные интегралы
1. Площадь криволинейной трапеции
2. Объем тела вращения
3. Длина дуги плоской кривой
4. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
5. Несобственные интегралы от неограниченных функций
Литература
Лекция 1. Определенный интеграл
1. Понятие определенного интеграла
Пусть функция определена на отрезке , . Выполним следующие операции:
1) разобьем отрезок точками на n частичных отрезков ;
2) в каждом из частичных отрезков , выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке: ;
3) найдем произведения , где – длина частичного отрезка , ;
4) составим сумму
, (1)
которая называется интегральной суммой функции y = f(x) на отрезке [а, b]. С геометрической точки зрения интегральная сумма представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки , а высоты равны соответственно (рис. 1). Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка ;
5) найдем предел интегральной суммы, когда .
Рис. 1
Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается .
Таким образом, .
В этом случае функция называется интегрируемой на . Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, – переменной интегрирования; отрезок называется промежутком интегрирования.
Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.
2. Геометрический смысл определенного интеграла
Пусть на отрезке задана непрерывная неотрицательная функция . Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f(x), снизу – осью Ох, слева и справа – прямыми x = a и x = b (рис. 2).
Рис. 2
Определенный интеграл от неотрицательной функции с геометрической точки зрения численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева и справа – отрезками прямых и , снизу – отрезком оси Ох.
3. Основные свойства определенного интеграла
1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования: .
2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:
3. Если , то, по определению, полагаем
4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
5. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:
.
6. Если функция интегрируема на и , то
.
7. (теорема о среднем). Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существует точка , такая, что .
4. ............
