Содержание
Двойные интегралы
Определение определенного интеграла
Правило вычисления двойного интеграла.
Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла
Вычисление площадей поверхностей фигур с помощью двойного интеграла.
Тройные интегралы
Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла.
Несобственные интегралы.
Дифференциальные уравнения.
1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения
4. Уравнения Бернулли
Дифференциальные уравнения второго порядка.
Три случая понижения порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Комплексные числа
Геометрическое изображение комплексных чисел
Действия над комплексными числами.
Произведение.
Частное.
Возведение в степень.
Извлечение корня
Ряды.
Числовые ряды.
Свойства числовых рядов.
Знакоположительные ряды
Признаки сходимости и расходимости знакоположительных рядов.
Знакопеременные и знакочередующиеся ряды.
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Определение определенного интеграла
- интегральная сумма.
Геометрический смысл ОИ: равен площади криволинейной трапеции.
Аналогично ОИ выводится и двойной интеграл.
Пусть задана функция двух переменных z=f(x,y), которая определена в замкнутой области S плоскости ХОУ.
Интегральной суммой для этой функции называется сумма
Она распространяется на те значения i и к, для которых точки (xi,yk) принадлежат области S.
Двойной интеграл от функции z=f(x,y), определенной в замкнутой области S плоскости ХОУ, называется предел соответствующей интегральной суммы.
Правило вычисления двойного интеграла
Двойной интеграл вычисляется через повторные или двукратные интегралы. Различаются два основных вида областей интегрирования.
1. (Рис.1) Область интегрирования S ограничена прямыми х=а, х=в и кривыми
.
Для такой области двойной интеграл вычисляется через повторный по формуле:
Сначала вычисляется внутренний интеграл:
При вычислении внутреннего интеграла ‘у’ считается переменной, а ‘х’-постоянной.
2. (Рис.2) Область интегрирования S ограничена прямыми у=С, у=d и кривыми
.
Для такой области двойной интеграл вычисляется через повторный по формуле:
Сначала вычисляется внутренний интеграл, затем внешний.
При вычислении внутреннего интеграла ‘х’ считается переменной, а ‘у’-постоянной.
3. Если область интегрирования не относится ни к 1 ни ко второму случаю, то разбиваем ее на части таким образом, чтобы каждая из частей относилась к одному из этих двух видов.
Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла
Объем тела, ограниченного сверху поверхностью z=f(x,y), снизу- плоскостью z=0 (плоскость ХОУ) и с боков- цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости ХОУ область S, вычисляется по формуле:
Вычисление площадей поверхностей фигур с помощью двойного интеграла
Если гладкая поверхность задана уравнением z=f(x,y), то площадь поверхности (Sпов.), имеющей своей проекцией на плоскость ХОУ область S, находится по формуле:
- площадь поверхности.
ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Определяется аналогично двойному интегралу.
Тройной интеграл от функции U=f(x,y,z), распространенным на область V, называется предел соответствующей трехкратной суммы.
Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению обыкновенных (однократных) нтегралов.
Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла
Объем тела вычисляется по формуле:
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Это интегралы: - с бесконечными пределами; - от неограниченной функции.
Первый вид
Несобственные интегралы с бесконечными пределами имеют вид:
; ;
Несобственные интегралы от функции в пределах от (а) до () определяются равенством.
1.; 2. ............
