Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева КУРСОВАЯ РАБОТА студента 2-го курса: Полякова Е.В.
    МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ
    ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ХИМИКОТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
    КАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ
    Днепропетровск 2000г. 1. Общая постановка и анализ задачи. 1.1. Введение.
    Требуется найти определенный интеграл
    I =
    по квадратурной формуле Чебышева.
    Рассмотрим, что представляет из себя вообще квадратурная формула, и как можно с ее помощью вычислить приближенно интеграл.
    Известно, что определенный интеграл функции типа численно представляет собой площадь криволинейной трапеции ограниченной кривыми x=0, y=a, y=b и y= (Рис.1).
    
    Рис. 1. Криволинейная трапеция.
    Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и известна ее первообразная F(x), то определенный интеграл от этой функции в пределах от а до b может быть вычислен по, известной всем, формуле Ньютона - Лейбница
    = F(b) - F(a)
    где
    F'(x) = f(x)
    Однако во многих случаях F(x) не может быть найдена, или первообразная получается очень сложной для вычисления.
    Кроме того, функция часто задается таблично. Поэтому большое значение приобретает приближенное и в первую очередь численное интегрирование.
    Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла по заданным или вычисленным значениям подинтегральной функции f(x) в некоторых точках ( узлах ) отрезка [ a, b].
    Численное определение однократного интеграла называется механической квадратурой, а соответствующие формулы численного интегрирования - квадратурными .
    Заменяя подинтегральную функцию каким-либо интерполционным многочленом, мы получим квадратурные формулы вида
    
    
    
    где
    xk - выбранные узлы интерполяции;
    Ak - коэффициенты, зависящие только от выбора узлов, но
    не от вида функции (k=0,1,2,........, n).
    R - остаточный член, или погрешность квадратурной формулы.
    Отбрасывая остаточный член R, мы совершаем погрешность усечения.
    При расчете к ней добавляются еще различные погрешности округления.
    Разобьем отрезок интегрирования [a, b] на n равных частей системой точек
    xi= xo+ i..h; ( i = 0,1,2,......,n)
    xo= a; xn= b;
    h= (b-a)/n ;
    и вычислим подинтегральную функцию в полученных узлах
    yi= f(xi) ; ( i = 0,1,2,......,n) 1.2. Вывод формул численного интегрирования с использованием интерполяционного полинома Лагранжа
    Пусть для y=f(x) известны в n+1 точках X0,X1,X2..Xn промежутка [a,b] соответствующие значения f(xi)=yi (i=0,1,2..n). Требуется приближенно найти
    
    
    По заданным значениям Yi построим полином Лагранжа. Заменим f(x) полиномом Ln(x). Тогда
    
    
    где Rn(f) - ошибка квадратурной формулы. Отсюда, воспользовавшись выражением для Ln(x), получаем приближенную квадратурную формулу:
    
    Для вычисления коэффициентов Аi заметим что:
    1.коэффициенты Ai при данном расположении узлов не зависит от выбора функции f(x);
    2.для полинома степени n последняя формула точная.
    
    
    Пологая y=xK (k=0,1,2..,n), получим линейную систему из n+1 уравнений:
    
    
    где
    
    (k=0,1,..,n), из которой можно определить коэффициенты А0,А1,..,АN.
    
    Определитель системы есть определитель Вандермонда
    
    
    Заметим, что при применении этого метода фактическое построение полинома Лагранжа Ln(x) является излишним. ............