Предмет:

"Теория автоматического управления"

Тема:

"Устойчивость движения в нелинейных системах"

1. Общие понятия и определения

 

При анализе устойчивости движений в нелинейных системах исследуют устойчивость в особых точках, характеризующих равновесные состояния и на предельных циклах, характеризующих автоколебания. Если в линейных системах работоспособными оказываются только устойчивые системы, то в нелинейных системах наличие автоколебаний является нормальным режимом ее функционирования.

Рассмотрим некоторые понятия об устойчивости движения в нелинейных системах. Существенный вклад в развитие теории нелинейных систем внес А.М. Ляпунов.

Устойчивость в малом – устойчивость при малых отклонениях. Для определения устойчивости в малом используют первый метод Ляпунова – метод линеаризации.

Устойчивость в целом – устойчивость, которая не зависит от величины начальных условий. Для определения устойчивости в целом используют второй (или прямой) метод Ляпунова.

 

2. Исследование устойчивости движения в окрестности особых точек

Ляпунов сформулировал теоремы об устойчивости линеаризованных систем. Движение в окрестности особой точки может быть асимптотически устойчивым (рис. 1а) или устойчивым в смысле Ляпунова (рис. 1б).

а)                                            б)

Рис. 1

Пусть имеется особая точка в начале координат. Устойчивость определяется в окрестности этой точки.

Если может быть найдена такая окрестность -e, чтобы движение, начавшись в пределах окрестности, заканчивалось в точке, характеризующей состояние равновесия, то такое движение называется асимптотически устойчивым.

Если внутри окрестности точки может быть найдена такая область, чтобы движение, начавшись вблизи окрестности, заканчивалось в пределах области точки, то такое движение называется устойчивым по Ляпунову.

Рассмотрим нелинейную систему второго порядка, которая описывается системой уравнений:

 (1)

Условие особых точек:

 (2)

Каждое из этих уравнений может быть представлено в виде линии на плоскости x0y. Если система линейная (рис. 2а), то оба уравнения линейны и линии пересекаются в одной (особой) точке, которая расположена, как правило, в начале координат. Для нелинейных систем (рис. 2б) каждое уравнение это уравнение кривой. Они могут пересекаться в нескольких точках, т.е. особых точек может быть сколь угодно.

    
    
    

    
      
    
    
    
    
       Рис. 2

Для определения устойчивости в окрестности какой-либо точки можно воспользоваться методом линеаризации.

 (3)

Переходим к уравнениям в изображениях

 (4)

где - постоянные коэффициенты, при этом x = x0, а y = y0.

Система линеаризованных уравнений

 (5)

Исключив одну переменную, можно получить уравнение второго порядка

 (6)

Для определения устойчивости анализируем корни характеристического уравнения

 (7)

Если корни характеристического уравнения расположены в левой полуплоскости, то линеаризованная система устойчива, а соответствующая ей исходная нелинейная система асимптотически устойчива в окрестности, рассматриваемой особой точки.

Если корни расположены в правой плоскости, то линеаризованная система неустойчива, а движение в окрестности особой точки является неустойчивым.

Если корни расположены на мнимой оси, то линеаризованная система не устойчива, а для определения устойчивости нелинейной системы необходимо провести дополнительные исследования нелинейной системы, т.е. ............