Собственные значения. 1. ВВЕДЕНИЕ Целый ряд инженерных задач сводится к рассмотрению систем уравнений, имеющих единственное решение лишь в том случае, если известно значение некоторого входящего в них параметра. Этот особый параметр называется характеристическим, или собственным, значением системы. С задачами на собственные значения инженер сталкивается в различных ситуациях. Так, для тензоров напряжений собственные значения определяют главные нормальные напряжения, а собственными векторами задаются направления, связанные с этими значениями. При динамическом анализе механических систем собственные значения соответствуют собственным частотам колебаний, а собственные векторы характеризуют моды этих колебаний. При расчете конструкций собственные значения позволяют определять критические нагрузки, превышение которых приводит к потере устойчивости. Выбор наиболее эффективного метода определения собственных значений или собственных векторов для данной инженерной задачи зависит от ряда факторов, таких, как тип уравнений, число искомых собственных значений и их характер. Алгоритмы решения задач на собственные значения делятся на две группы. Итерационные методы очень удобны и хорошо приспособлены для определения наименьшего и наибольшего собственных значений. Методы преобразований подобия несколько сложней, зато позволяют определить все собственные значения и собственные векторы. В данной работе будут рассмотрены наиболее распространенные методы решения задач на собственные значения. Однако сначала приведем некоторые основные сведения из теории матричного и векторного исчислений, на которых базируются методы определения собственных значений. 2. НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ, НЕОБХОДИМЫЕ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ В общем виде задача на собственные значения формулируется следующим образом: AX = ?X, где A - матрица размерности n х n. Требуется найти n скалярных значений ? и собственные векторы X, соответствующие каждому из собственных значений. Основные определения матричного исчисления
     1. Матрица A называется симметричной, если
    аij = аij, где i, j = 1, 2, . . ., n. Отсюда следует симметрия относительно диагонали
    аkk, где k == 1, 2, . . ., n. Матрица 1 4 5 4 3 7 5 7 2 является примером симметричной.
     2. Матрица A называется трехдиагональной, если все ее элементы, кроме элементов главной и примыкающих к ней диагоналей, равны нулю. В общем случае трехдиагональная матрица имеет вид * * 0 * * * * * * . . . . . . * * * 0 * * * * * Важность трехдиагональной формы обусловлена тем, что некоторые методы преобразований подобия позволяют привести произвольную матрицу к этому частному виду. 3. Матрица A называется ортогональной, если АТА = Е, где Ат-транспонированная матрица A, а Е-единичная матрица. Очевидно, матрица, обратная ортогональной, эквивалентна транспонированной. 4. Матрицы А и В называются подобными, если существует такая несингулярная матрица Р, что справедливо соотношение В = Р-1АР. Основные свойства собственных значений. 1. Все п собственных значений симметричной матрицы размерности пХп, состоящей из действительных чисел, действительные. Это полезно помнить, так как матрицы, встречающиеся в инженерных расчетах, часто бывают симметричными. 2. Если собственные значения матрицы различны, то ее собственные векторы ортогональны. ............