РЕФЕРАТ
на тему:”Додавання гармонічних коливань”
План
1. Додавання гармонічних коливань однакового напрямку і однакові частоти. Биття.
2. Додавання взаємно перпендикулярних коливань. Фігури Ліссажу.
3. Диференціальне рівняння вільних затухаючих коливань і його розв’язування.
1. Додавання гармонічних коливань однакового напрямку і однакові частоти. Биття
Розглянемо додавання двох коливань однакового напрямку з однаковими періодами, які відбуваються з деякою різницею фаз і мають різні амплітуди. Нехай ці коливання відбуваються в напрямі осі x. Запишемо рівняння цих коливань
(1)
Циклічні частоти ω в обох випадках однакові. Зміщення x від положення рівноваги, при участі тіла одночасно в двох коливаннях, виражається алгебраїчною сумою
Або
(2)
Для знаходження результуючої амплітуди А і початкової фази результуючого коливання φ використаємо векторну діаграму (рис.1).
Так-як вектори і обертаються з однаковою циклічною частотою ω, то різниця фаз між ними залишається постійною. Результуючу амплітуду А в цьому випадку визначають за теоремою косинусів, тобто
(3)
або з урахуванням того, що одержуємо:
Рис.1
(4)
і
(5)
Початкова фаза результуючого коливання φ дорівнює
(6)
Значення амплітуди (5) і початкової фази (6) підставимо в рівняння (2), одержимо
(7)
Як видно з (7), сумарне коливання має такий же напрям і відбувається з тією ж циклічною частотою ω. Амплітуда результуючого коливання залежить від різниці фаз обох коливань.
Якщо де (), то ;
Якщо де (), то .
Оскільки може набувати значень від –1 до +1, то межі зміни амплітуди будуть такими:
(8)
Окремим випадком можна розглядати додавання коливань з близькими циклічними частотами і (). Періодична зміна амплітуди з часом, яка відбувається в цьому випадку, називається биттям. Нехай додаються два гармонічних коливання з амплітудами і близькими циклічними частотами і . Початкові фази таких гармонічних коливань можна вибрати однаковими, тому
(9)
(10)
Різниця фаз двох коливань (9) і (10) буде дорівнювати .
Скористаємось теоремою косинусів для визначення амплітуди биття
(11)
Замінимо вираз в квадратних дужках у відповідності з формулою
(12)
Вираз (12) підставимо в (11)
. (13)
або
(14)
Фаза результуючого коливання для довільного проміжку часу знаходиться із графіка (рис.2)
(15)
Результуюче коливання биття матиме вигляд:
(16)
де – амплітуда биття.
Рис.2
Графік залежності (16) має вигляд (рис 3):
Періодичність зміни амплітуди від максимуму до максимуму дає час, який називається періодом биття
, звідки (17)
Періодичність зміни амплітуди високочастотних коливань визначається за формулою
, звідки (18)
Оскільки циклічні частоти досить близькі, то наближено
(19)
За час відбувається n гармонічних високочастотних коливань, тому
(20)
З урахуванням співвідношень (17) і (19) вираз (20) перепишеться
(21)
звідки а для частот
В процесі биття частоти генераторів визначаються в таких межах:
(22)
Биття використовується для вимірювання частоти невідомого генератора в процесі їх виготовлення. Складання однаково направлених коливань забезпечує амплітудну модуляцію в радіотехніці, а також проміжну частоту супергетеродинного прийому радіо і телепередач.
2. ............
