Вычисление определенного интеграла

Екатеринбург

2006

Вычисление определенного интеграла

  Введение

Задача численного интегрирования функций заключается в вычислении приближенного значения определенного интеграла:

,                                                                                  (1)

на основе ряда значений подынтегральной функции .{ f(x) |x=xk = f(xk) = yk}.

Формулы численного вычисления однократного интеграла называются квадратурными формулами, двойного и более кратного – кубатурными.

Обычный прием построения квадратурных формул состоит в замене подынтегральной функции f(x) на отрезке [a,b] интерполирующей или аппроксимирующей функцией g(x) сравнительно простого вида, например, полиномом, с последующим аналитическим интегрированием. Это приводит к представлению

В пренебрежении остаточным членом R[f] получаем приближенную формулу

.

Обозначим через yi = f(xi) значение подинтегральной функции в различных точках  на [a,b]. Квадратурные формулы являются формулами замкнутого типа, если x0=a , xn=b.

В качестве приближенной функции g(x) рассмотрим интерполяционный полином на  в форме полинома Лагранжа:

,

где

, при этом , где  - остаточный член интерполяционной формулы Лагранжа.

Формула (1) дает

,                                 (2)

где

.                                               (3)

В формуле (2) величины {} называются узлами, {} – весами,  - погрешностью квадратурной формулы. Если веса {} квадратурной формулы вычислены по формуле (3), то соответствующую квадратурную формулу называют квадратурной формулой интерполяционного типа.

Подведем итог.

1.  Веса {} квадратурной формулы (2) при заданном расположении узлов  не зависят от вида подынтегральной функции.

2.  В квадратурных формулах интерполяционного типа остаточный член Rn[f] может быть представлен в виде значения конкретного дифференциального оператора на функции f(x). Для

.

3.  Для полиномов до порядка n включительно квадратурная формула (2) точна, т.е. . Наивысшая степень полинома, для которого квадратурная формула точна, называется степенью квадратурной формулы.

Рассмотрим частные случаи формул (2) и (3): метод прямоугольников, трапеций, парабол (метод Симпсона). Названия этих методов обусловлены геометрической интерпретацией соответствующих формул.

Метод прямоугольников

Определенный интеграл функции от функции f(x): численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривыми у=0, x=a, x=b, y=f(x) (рисунок. 1).

Рис. 1 Площадь под кривой y=f(x)

 

Для вычисления этой площади весь интервал интегрирования [a,b] разбивается на n равных подинтервалов длины h=(b-a)/n. Площадь под подынтегральной кривой приближенно заменяется на сумму площадей прямоугольников, как это показано на рисунке (2).

 

Рис. 2 Площадь под кривой y=f(x) аппроксимируется суммой площадей прямоугольников

 

Сумма площадей всех прямоугольников вычисляется по формуле

 

                 (4)

Метод, представленный формулой (4), называется методом левых прямоугольников, а метод, представленный формулой(5) – методом правых прямоугольников:

                   (5)

 

Погрешность вычисления интеграла определяется величиной шага интегрирования h. ............