Міністерство освіти і науки України
Національний університет львівська політехніка
Інститут Комп’ютерних наук та інформаційних технологій
Кафедра автоматизованих систем управління
Лабораторна робота №1
з дисципліни: Математичні методи представлення знань
на тему: Абсолютна та відносна похибка
Львів – 2011
Абсолютна та відносна похибка
Мета роботи: вивчити і засвоїти поняття абсолютної й відносної похибки та методи їх оцінювання.
Порядок роботи:
1. Створити проект для виконання індивідуального завдання.
2. Оформити звіт для захисту лабораторної роботи за зразком:
· назва роботи;
· мета роботи;
· порядок роботи;
· короткі теоретичні відомості;
· алгоритм побудови розв’язку задачі;
· тексти відповідних модулів проекту;
аналіз отриманих результатів та висновки. Короткі теоретичні відомості
Зв'язок між кількістю точних десяткових знаків і відносною похибкою наближеного числа дається у наведеній далі теоремі.
Теорема. Якщо додатне наближене число а має п точних десяткових знаків, то відносна похибка δ цього числа задовольняє умову
δ ≤ , (1)
де ат – перша значуща цифра числа а .
Доведення. Нехай а = αm ·10 m +αm - 1 ·10m - 1 + ... + αm – n +1 ·10m – n + 1
є наближеним значенням точного числа А з n точними знаками. Тоді, згідно з означенням числа точних знаків наближеного числа, одержуємо
∆= | А – а |≤ · 10m – n + 1.
Звідси
- · 10m – n + 1 ≤ А – а ≤ · 10m – n + 1 .
Тому
А ≥ а - · 10m – n + 1 ≥ αm ·10 m - · 10m – n + 1
А ≥ · 10m. (2)
Права частина отриманої нерівності досягає найменшого значення при п = 1, тому
А ≥ · 10m≥ · 10m (2аm - 1).
Оскільки 2аm - 1 = ат + (ат – 1 ) ≥ аm , то
А ≥ аm · 10m.
δ = ,
або
δ ≤ .
Наслідок 1. За граничну відносну похибку наближеного додатного числа а з п точними десятковими знаками можна прийняти
δa = (3)
де аm - перша значуща цифра числа а .
Наслідок 2. За граничну відносну похибку наближеного додатного числа а з п точними десятковими знаками при п ≥ 2 практично можна прийняти
δa = .
Справді, якщо п>2, то числом у нерівності (4.1) можна знехтувати. Тоді
А ≥ · 10m ·2аm = аm · 10m.
Тому
δ = .
Означення. Вважатимемо, що n перших значущих цифр (десяткових знаків) наближеного числа а є точними,, якщо абсолютна похибка цього числа не перевищує половини одиниці розряду, котрий виражається його n-ною значущою цифрою (рахуючи зліва направо), тобто
Приклад 1. Яка гранична відносна похибка наближеного числа а = 3,14 , що замінює точне число А = π?
Оскільки п = 3 і ат = 3 , то на підставі наслідку 2
δa =% .
Приклад 2. Зі скількома точними десятковими знаками треба взяти , щоб відносна похибка була не більшою за 0,1% ?
Оскільки ат = 4, δ ≤ 0,001, то на підставі наслідку 1 має виконуватися нерівність:
Звідси 10n – 1 ≥ 250 або п ≥ 4 .
Для визначення кількості точних знаків наближеного числа а, якщо відома його відносна похибка δ, можемо скористатися наближеною формулою
δ = (4)
де ∆ - абсолютна похибка наближеного числа а . Із цієї формули одержуємо, що ∆ = δ |a|. ............