МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины"
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Курсовая работа
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ МАТРИЦ
Исполнитель:
студентка группы H.01.01.01 М-42
Мариненко В.В.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор Скиба С.В.
Гомель 2003
Содержание
Введение
1. Алгебраические группы матриц
1.1 Примеры алгебраических групп матриц
1.2 О полугруппах
1.3 Компоненты алгебраической группы
1.4 О -группах
2 Ранг матрицы
2.1 Возвращение к уравнениям
2.2 Ранг матрицы
2.3 Критерий совместности
3 Линейные отображения. Действия с матрицами
3.1 Матрицы и отображения
3.2 Произведение матриц
3.3 Квадратные матрицы
Заключение
Список использованных источников
Введение
Множество матриц -ой степени над будем рассматривать как аффинное пространство с имеющейся на ней полиномиальной топологией. Алгебраические группы матриц определяются как невырожденные части алгебраических множеств из , являющиеся группами относительно обычного матричного умножения. Простейший пример такой группы - общая линейная группа . В настоящем параграфе мы начнем систематическое изучение алгебраических матричных групп.
Все топологические понятия относятся к полиномиальной топологии; черта обозначает замыкание в , диез - замыкание в , бемоль - взятие невырожденной части, т. е. - совокупность всех невырожденных матриц из . Иногда, допуская вольность, мы употребляем для групп те же понятия, что и для подлежащих алгебраических множеств, - например, говорим об общих точках групп; это не должно вызывать недоразумений.
1. Алгебраические группы матриц
1.1 Примеры алгебраических групп матриц
Классические матричные группы - общая, специальная, симплектическая и ортогональная:
где
- единичная матрица и штрих обозначает транспонирование.
Диагональная группа , группы клеточно-диагональных матриц данного вида. Треугольная группа (для определенности --- с нижним нулевым углом), унитреугольная группа (треугольные матрицы с единичной диагональю), группы клеточно-треугольных матриц данного вида.
Централизатор произвольного множества из в алгебраической группе , нормализатор замкнутого множества из в .
Пересечение всех алгебраических групп, содержащих данное множество матриц из --- алгебраическая группа. Она обозначается и называется алгебраической группой, порожденной множеством .
Каждую алгебраическую линейную группу из можно изоморфно --- в смысле умножения и полиномиальной топологии --- отождествить с замкнутой подгруппой из в силу формулы
Такое отождествление позволяет при желании ограничиться рассмотрением только таких групп матриц, которые сами являются алгебраическими множествами (а не их невырожденными частями). ............
