МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ  И  НАУКИ  УКРАИНЫ

ТАВРИЧЕСКИЙ  НАЦИОНАЛЬНЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ

им. В.И. ВЕРНАДСКОГО

ФАКУЛЬТЕТ  МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

КАФЕДРА  АЛГЕБРЫ  И  ФУНКЦИОНАЛЬНОГО  АНАЛИЗА

*-АЛГЕБРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

Дипломная работа специалиста

 

 

студент 5 курса специальности математика

_________________________________

НАУЧНЫЕ РУКОВОДИТЕЛИ:

ассистент каф. алгебры и функционального анализа

_________________________________

профессор, доктор физико-математических наук

_________________________________

РЕШЕНИЕ О ДОПУСКЕ К ЗАЩИТЕ:

зав. кафедрой, профессор, д.ф.м.н.

_________________________________

 

СИМФЕРОПОЛЬ

2003

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………………..4

Глава I. Основные понятия и определения…………………………………….6

§ 1. * - алгебры……………………………………………………………………...6

1.1. Определение * - алгебры……………………………………………………….6

1.2. Примеры…………………………………………………………………………7

1.3. Алгебры с единицей…………………………………………………………….7

1.4. Простейшие свойства * - алгебр……………………………………………….9

1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр…………………………………………11

§ 2. Представления ……………………………………………………………….13

2.1. Определение и простейшие свойства представлений……………………….13

2.2. Прямая сумма представлений ………………………………………………..15

2.3. Неприводимые представления………………………………………………..16

2.4. Конечномерные представления……………………………………………….19

2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений ……………………..20

§ 3. Тензорные произведения……………………………………………………26

3.1. Тензорные произведения пространств……………………………………….26

3.2. Тензорные произведения операторов………………………………………..28

Глава II. Задача о двух ортопроекторах………………………………………..31

§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве…………………………..31

1.1. Постановка задачи……………………………………………………………..31

1.2. Одномерные *-представления *-алгебры  P2 ……………………………….31

1.3. Двумерные *-представления *-алгебры  P2   ……………………………….32

1.4. n-мерные *-представления *-алгебры  P2   …………………………………35

1.5. Спектральная теорема…………………………………………………………37

§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве……39

2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры  P2   …………………………...39

2.2. Спектральная теорема…………………………………………………………41

Глава III. Спектр суммы двух ортопроекторов ……………………………...45

§ 1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве……...45

1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве……………………….45

1.2. Постановка задачи……………………………………………………………..45

1.3. Спектр в одномерном пространстве………………………………………….45

1.4. Спектр в двумерном пространстве……………………………………….…..46

1.5. Спектр в n-мерном пространстве……………………………………………..47

1.6. Линейная комбинация ортопроекторов………………………………………49

§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном

гильбертовом пространстве …………………………………………………….52

2.1. ............