РЕФЕРАТ

Аналитические свойства решений системы двух дифференциальных уравнений

третьего порядка

Автор: Бычков Вячеслав Викторович,

студент группы 220601

ФИТУ АСОИ 3 курс

Научный руководитель:

Цегельник Владимир Владимирович,

Доктор физико-математических наук, доцент

Зав. кафедрой высшей математики БГУИР

Минск 2004

Реферат

14 стр.; 8 источников

Ключевые слова: автомодельное решение, уравнение Кортевега де Фриза, уравнения Пенлеве, рациональные решения, высшие аналоги уравнений Кортевега де Фриза и Пенлеве, двух - и трёхпараметрические семейства полярных решений, преобразование Беклунда.

Объектом исследования является система двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, порождённая прямым и обратным преобразованиями Беклунда высшего аналога второго уравнения Пенлеве . Целью работы является исследование некоторых аналитических свойств решений указанной системы. Используя метод исключения, получены два нелинейных дифференциальных уравнения шестого порядка, связанные между собой простым масштабным преобразованием. Основным результатом работы является доказательство наличия у системы четырёхпараметрических семейств решений, порождаемых общим решением высшего аналога второго уравнения Пенлеве. Рассматриваемая система и полученные результаты являются новыми.

Отзыв научного руководителя

В работе рассматривается актуальная задача исследования аналитических свойств решений системы двух нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка, порождённой прямым и обратным преобразованиями Беклунда высшего аналога второго уравнения Пенлеве. Теория высших аналогов уравнений Пенлеве интенсивно развивается, так как последние являются точными автомодельными редукциями хорошо известных высших аналогов уравнений в частных производных. В работе показано существование у системы четырёхпараметрических семейств решений, порождаемых общим решением высшего аналога второго уравнения Пенлеве. На основании этого показано существование рациональных, а также двух - и трёхпараметрических семейств полярных решений у рассматриваемой системы. Работа выполнена самостоятельно с привлечением достаточно большого объёма библиографических источников.

Содержание

Введение

Основная часть

Заключение

Список использованных источников

Среди решений уравнений в частных производных встречаются решения, зависящие от какой-нибудь одной комбинации независимых переменных и, следовательно, удовлетворяющие некоторому обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ). Решения, обладающие указанным свойством, называются автомодельными решениями. Отметим, что под ОДУ понимается как одно обыкновенное дифференциальное уравнение, так и система таких уравнений.

Например, известное уравнение Кортевега де Фриза (KdV)

допускает как стационарные решения (решения типа “бегущая волна”)  (при этом ,  удовлетворяют ОДУ

,

), так и автомодельное решение

,

где ,  удовлетворяют уравнению

.

Отметим, что термин “автомодельное решение" относится, вообще говоря, к решению, зависящему (нетривиальным образом) от меньшего числа независимых переменных, чем полное решение.

Явление, развивающееся во времени, называется автомодельным, если распределения его характеристик в разные моменты времени получаются одно из другого преобразованием подобия. ............