Контрольна робота з теми:

АНАЛІЗ СТІЙКОСІ ПРОЦЕСІВ В НЕЛІНІЙНІЙ СХЕМІ

1. Основні поняття теорії стійкості

Будемо розглядати стійкість двох станів нелінійних схем – періодичного режиму та положення рівноваги.

В положенні рівноваги схема знаходиться при вимкненій зовнішній дії, але при збережені джерел постійної напруги. Отже, в положенні рівноваги в елементах схеми протікають тільки постійні струми і на елементах діють лише постійні напруги. Цей стан має бути нестійким в автогенераторі і, навпаки, стійким в підсилювачі, помножувачі частоти та інших подібних пристроях.

Нагадаємо, що означає стійкість якого-небудь стана системи. Щоб вирішити стійкий виділений нами стан, треба вивести систему з нього і прослідкувати за її поведінкою. Якщо з часом система повернеться до початкового стану, або приблизиться до нього, то цей стан зветься стійким, або по-іншому – стійким за Ляпуновим. Якщо з часом система віддаляється від початкового стану, то його звуть нестійким.

Прийнято наступну термінологію. Початковий стан системи отримав назву незбудженого руху. Процес, протікаючий в системі після того, як вона виведена з початкового стану, зветься збуреним рухом. Різницю між вказаними рухами назвали збуренням. Очевидно, при стані, стійким по Ляпунову, збурення протягом часу не зростають, при асимптотичній стійкості – прямує до нуля, а при нестійкому – зростають. Таким чином, для аналіза стійкості треба знати поведінку збурень. Складність задачі про їх поведінку визначається початковими значеннями збурень – довільне воно або мале порівняно з шуканим рухом. У зв’язку з цим стійкий стан, знайдений при довільному, але кінцевому відхиленню від нього, звуть стійким в великому. Стійкий стан, отриманий при малому відхиленні від початкового руху, звуть локально стійким (стійким в малому).

Знайдемо рівняння, якому підпорядковані збурення

. (1)

Нехай  - стаціонарний стан, стійкість якого досліджується. При  маємо положення рівноваги, а при  - періодичний режим. Запроваджуючи збурення , запишемо збурений рух

. (2)

Підставимо (2) в (1) і врахуемо, що  - рішення (1):

 (3)

Отримаємо, що довільні збурення описуються автономним (без правої частини) нелінійним диференційним рівнянням. Нелінійність рівняння зберігається при усякому шуканому стані – положенні рівноваги або періодичному режимі.

Розглянемо малі збурення, для яких справедливі умови . Це дає можливість нелінійну функцію з (3) розкласти в ряд по ступеням малих відхилень, обмежуваючись двома першими членами,

,

.

Підстановка в (3) дає

 (4)

Тут квадратні дужки вказують на те, що похідні беруться при .

Коли , то ,  - диференційна провідність і ємність в робочій точці нелінійних елементів. Якщо , то , .

Таким чином, малі збурення описуються лінійним диференційним рівнянням, коефіцієнти якого постійні в випадку, коли розглядається стійкість положення рівноваги, і виявляються періодичними функціями часу для збурень періодичного процесу.

Очевидно, що для виділених станів схеми аналіз стійкості у великому найбільш складний, оскільки він зв’язаний з рішенням диференційного рівняння. Наступним за складністю буде вивчення локальної стійкості періодичного режиму, а самим простим – аналіз локальної стійкості – в малому, або в великому – важливо при схемотехнічному проектуванні розглядених вузлів.

В автогенераторі положення рівноваги повинно бути нестійким, тому можна обмежитися вивченням локальної стійкості. ............