АППРОКСИМАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ
    
    Содержание
    Введение
    I. Постановка основной задачи теории аппроксимации
    1.1. Основная теорема аппроксимации в линейном нормированном пространстве
    1.2. Теорема аппроксимации в пространстве Гильберта
    1.3. Первая теорема Вейерштрасса
    1.4. Вторая теорема Вейерштрасса
    II. Круг идей П.Л. Чебышева
    2.1. Теорема Валле-Пуссена и теорема существования
    2.2. Теорема Чебышева
    2.3. Переход к периодическим функциям
    2.4. Обобщение теоремы Чебышева
    III. Методы аппроксимации
    3.1. Приближение функции многочленами
    3.2. Формула Тейлора
    3.3. Ряды Фурье
    Заключение
    Литература
    
    Введение
    Элементы важной и интересной области математики- теория приближения функций. Под приближением функции понимают замену по определенному правилу одной функции другой, близкой к исходной в том или ином смысле. Практическая необходимость в такой замене возникает в самых различных ситуациях, когда данную функцию необходимо заменить более простой и удобной для вычислений, восстановить функциональную зависимость по экспериментальным данным, и т.п.
    Основоположником теории аппроксимации функций является великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894).
    В качестве приближающих функций выбирают чаще всего алгебраические и тригонометрические многочлены. Так же важное значение имеет метод наилучшего приближения, предложенный Чебышевым. Он возник из решения практических задач, связанных с конструированием прямолинейно направляющих шарнирных механизмов. Такие механизмы в XIX веке использовались в паровых машинах- основных универсальных двигателях того времени- для поддержания прямолинейного движения поршневого штока. К ним относятся параллелограмм Уатта и некоторые его разновидности.
    На дальнейшее развитие этой теории оказало влияние открытие, сделанное в конце XIX века немецким математиком Карлом Вейерштрассом. Им была доказана принципиальная возможность приближения произвольной непрерывной функции с любой заданной степенью точности алгебраическим многочленом, что явилось второй причиной применения этих многочленов как универсального средства приближения функций, с заданной сколь угодно малой ошибкой.
    Кроме алгебраических многочленов, другим средством приближения функций являются тригонометрические многочлены, значение которых в современной математике, конечно, не исчерпывается указанной ролью.
    
    I. Постановка основной задачи аппроксимации
    Основную задачу теории аппроксимации можно сформулировать следующим образом: на некотором точечном множестве в пространстве произвольного числа измерений заданы 2 функции f(P) и F(P,A1,A2...An) от точки P, из которых вторая зависит ещё от некоторого числа параметров А1,А2...Аn; эти параметры требуется определить так, чтобы уклонение в функции F(P,A1,A2...An) от функции f(P) было наименьшим. При этом, конечно, должно быть указано, что понимают под уклонением F от f или, как ещё принято говорить, под расстоянием между F и f.
    Если, например, рассматриваются ограниченные функции, то в качестве расстояния между двумя функциями можно взять верхнюю грань в модуля их разности. ............