Аркфункции Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические функции. Пример №1. Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y) и построить их графики. Решение: Рассмотрим 1-ю функцию y = arcsin(1/x) Д(f): | 1/x | ? 1 , | x | ? 1 , ( - ? ; -1 ] U [ 1; + ? ) Функция нечетная ( f(x) убывает на пр. [0;1] , f(y) убывает на пр. [0;?/2] ) Заметим, что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є [-?/2; ?/2], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откуда y=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x) Д(f): ( - ? ; -1 ] U [ 1; + ? ) Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x2). Решение: Д(f): [-1;1] Четная f(x) убывает на пр. [0;1] f(x) возрастает на пр. [-1;0] Пример №3. Исследовать функцию y=arccos2(x). Решение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z2 f(z) убывает на пр. [-1;1] от ? до 0. f(y) убывает на пр. [-1;1] от ?2 до 0. Пример №4. Исследовать функцию y=arctg(1/(x2-1)) Решение: Д(f): ( - ? ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; +? ) Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках: [ 0 ; 1 ) и ( 1 ; +? ) X 0 < x < 1 < x < +? u=1/(x2-1) -1 ? + ? - ? ? 0 y=arctg(u) - ?/4 ? ?/2 - ?/2 ? 0 Тригонометрические операции над аркфункциями Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение. В силу определения аркфункций: sin(arcsin(x)) = x , cos(arccos(x)) = x (справедливо только для x є [-1;1] ) tg(arctg(x)) = x , ctg(arcctg(x)) = x (справедливо при любых x ) Графическое различие между функциями, заданными формулами:
    y=x и y=sin(arcsin(x)) Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями. Аргумент функция arcsin(x) arccos(x) arctg(x) arcctg(x) sin sin(arcsin(x))=x cos x tg x 1 / x ctg 1 / x x Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже: Т.к. cos2x + sin2x = 1 и ? = arcsin(x) Перед радикалом следует взять знак "+", т.к. дуга принадлежит правой полуокружности (замкнутой) , на которой косинус неотрицательный. Значит, имеем Из тождества следует: Имеем Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством выведения формул. Пример №1. Преобразовать выражение Решение: Применяем формулу , имеем: Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств: Пример №3. Пользуясь ... Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества: Пример №5. Положив в формулах , и , получим: , Пример №6. Преобразуем Положив в формуле , Получим: Перед радикалами взят знак "+", т.к. дуга принадлежит I четверти, а потому левая часть неотрицательная. Соотношения между аркфункциями Соотношения первого рода - соотношения между аркфункциями, вытекающими из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг. Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества: Соотношения второго рода - соотношения между аркфункциями, вытекающие из соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования одной аркфункции в другую (но от различных аргументов). Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же полуокружности. Пусть, например, рассматривается дуга ?, заключенная в интервале (-?/2; ?/2). Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде арктангенса. ............