МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, МЕНЕДЖМЕНТА И ПРАВА РЕФЕРАТ по дисциплине: Высшая математика на тему: Асимптоты (определение, виды, правила нахождения) Выполнила: студентка 1 курса Экономического факультета (вечернее отделение) Козлова М.А. Проверил: Рошаль А.С. Москва 2002 год 2 Содержание Введение 3 2. Нахождение асимптоты 4
    2.1 Геометрический смысл асимптоты 5
    2.2 Общий метод нахождения асимптоты 6
    3. Виды 8
    3.1 Горизонтальная асимптота 8
    3.2 Вертикальная асимптота 9
    3.3 Наклонная асимптота 10
    Использованная литература 12 3 Введение Асимптота, так называемая прямая или кривая линия, которая, будучи продолжена, приближается к другой кривой, но никогда не пересекает ее, так что расстояние между ними делается бесконечно малой величиной. Понятие асимптоты играет важную роль в математическом анализе. Они проводятся при изучении свойств многих кривых (гиперболы, конхоиды, логарифмич. линии, циссоиды и др.). 4 2. Нахождение асимптоты Пусть функция f (x) определена для всех x ? а (соответственно для всех x ? а). Если существуют такие числа k и l, что f(x) ? kx ? l = 0 при х ? ? ? (соответственно при х ? ? ?), то прямая y = kx + l называется асимптотой графика функции f (x) при x ? ? ? (соответственно при х ? ? ?). Существование асимптоты графика функции означает, что при х ? + ? (или х ? ? ?) функция ведёт себя "почти как линейная функция", то есть отличается от линейной функции на бесконечно малую.
    x? 3x ? 2 Найдём, например, асимптоту графика функции y = x ?1 Разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов,
    2 2 получим y = x ? 4 + x + 1 Так как x + 1 = 0 при х ? ? ?, то прямая y = x-4 является асимптотой графика данной функции как при х ? + ?, так и при х ? ? ?. 5 2.1 Геометрический смысл асимптоты Рассмотрим геометрический смысл асимптоты. Пусть М = (x, f (x)) - точка графика функции f, М - проекция этой точки на ось Ох, АВ - асимптота, ? - угол между асимптотой и положительным направлением оси Ох, ? ?, MP - перпендикуляр, опущенный из точки М на асимптоту АВ, Q - точка пересечения прямой ММ с асимптотой АВ (рис.1).
    (рис.1) Тогда ММ = f (x), QM = kx + l, MQ = MM ? QM = f (x) - (kx +l), MP = MQ cos ?. Таким образом, MP отличается от MQ лишь на не равный нулю множитель cos ?, поэтому условия MQ ? 0 и MP ? 0 при х ? ? ? (соответственно при х ? ? ?) эквивалентны, то есть lim MQ = 0, то и lim MP = 0, и наоборот. х ? ? ?
    х ? ? ? Отсюда следует, что асимптота может быть определена как прямая, расстояние до которой от графика функции, то есть отрезок МР, стремится к нулю, когда точка М = (x, f (x)) "стремится, оставаясь на графике, в бесконечность" (при х ? ? ? или, соответственно, х ? ? ?). 6 2.2 Общий метод отыскания асимптоты Укажем теперь общий метод отыскания асимптоты, то есть способ определения коэффициентов k и l в уравнении y = kx + l. Будем рассматривать для определённости лишь случай х ? ? ? (при х ? ? ? рассуждения проводятся аналогично). ............