БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ
    Изучение балансовых моделей, представляющих собой одно из важнейших направлений и экономико-математических исследований, должно служить объектом изучения отдельной дисциплины. Наша цель - проиллюстрировать на примере балансовых расчетов применение основных понятий линейной алгебры. ЛИНЕЙНАЯ БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ
    Пусть рассматривается экономическая система, состоящая из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление ( конечный продукт ), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют производственным потреблением. Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей выступает и как производитель продукции ( первый столбец таблицы 1 ) и как ее потребитель ( первая строка таблицы 1 ).
    Обозначим через xi валовый выпуск продукции i-й отрасли за планируемый период и через yi - конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы потребление ( средства производства других экономических систем, потребление населения, образование запасов и т.д. ).
    Таким образом, разность xi - yi составляет часть продукции i-й отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном разрезе.
    Обозначим через xik часть продукции i-й отрасли, которая потребляется k-й отраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размере хk.
    Таблица 1
    № потребление итого на конечный валовый
    отрас. внутре продукт выпуск
    производ. ( уi ) ( хi ) № 1 2 ... k ... n потребление отрас. ( ??хik )?
    
    1 х11 х12 ... х1k ... х1n ??х1k у1 х1
    
    2 х21 х22 ... х2k ... х2n ??х2k у2 х2
    
    ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
    
    i хi1 xi2 ... xik ... xin ? xik yi xi
    ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
    n xn1 xn2 ... xnk ... xnn ??xnk yn xn итого произв. затраты ??хi1 ??xi2 ... ? xik ... ? xin в k-ю отрасль
    
    Очевидно, величины, расположенные в строках таблицы 1 связаны следующими балансовыми равенствами :
    х1 - ( х11 + х12 + ... + х1n ) = у1
    х2 - ( х21 + х22 + ... + х2n ) = у2 ( 1 )
    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
    xn - ( xn1 + xn2 + ... + xnn ) = yn
    Одна из задач балансовых исследований заключается в том, чтобы на базе данных об исполнение баланса за предшествующий период определить исходные данные на планируемый период.
    Будем снабжать штрихом ( х'ik , y'i и т.д. ) данные, относящиеся к истекшему периоду, а теми же буквами, но без штриха - аналогичные данные, связанные с планируемым периодом. Балансовые равенства ( 1 ) должны выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде.
    Будем называть совокупность значений y1 , y2 , ... ............