Содержание
Введение
1. Постановка задачи
2. Математические и алгоритмические основы решения задачи
2.1 Описание метода
2.2 Алгоритм
3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи
4. Программная реализация решения задачи
5. Пример выполнения программы
Заключение
Список использованных источников и литературы
Введение Математические модели процессов часто или сразу строятся как линейные алгебраические системы или сводятся к ним. Необходимость решения СЛАУ возникает при вычислении определителя, обращения матриц, нахождении собственных чисел.
Методы численного решения системы Ax=b, где A - матрица n x n, det A ≠ 0, x - искомый вектор, b - заданный вектор, разделяются на два класса: прямые и итерационные. Прямые методы позволяют находить решение системы за конечное число арифметических операций. Если операции реализуются точно, то решение будет точным (прямые методы еще называют точными). На деле при вычислении на ЭВМ прямые методы не приводят к точному решению вследствие погрешностей округления.
Итерационные методы позволяют найти точное решение путем бесконечного повторения единообразных действий т.е. решение, которое реально можно получить, будет приближенным.
1. Постановка задачи Требуется решить систему линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами вида
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1,a21x2 + a22x2 + … + a2nxn = b2,... ... ...
an1x1 + an2x2 + … + annxn = bn
с помощью метода исключения Гаусса.
Пример 1. Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему:
Обнулим коэффициенты при x во второй и третьей строчках. Для этого домножим их на и 1 соответственно и сложим с первой строкой:
Теперь обнулим коэффициент при y в третьей строке, домножив вторую строку на - 6 и сложив с третьей:
В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончив первый этап алгоритма.
На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке.
Имеем:
z = - 1 из третьего;
y = 3 из второго, подставив полученное z
x = 2 из первого, подставив полученные z и y.
Таким образом исходная система решена.
Пример 2. Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему:
Составим расширенную матрицу системы.
.
Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
, откуда получаем: x =1, y = 2, z = 3.
2. Математические и алгоритмические основы решения задачи 2.1 Описание метода Метод Гаусса - классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Состоит в постепенном понижении порядка системы и исключении неизвестных.
Пусть исходная система выглядит следующим образом
,
. (1)
Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками эту систему можно привести к трапециальному виду:
,.
Переменные называются главными переменными. Все остальные называются свободными.
Если , то рассматриваемая система несовместна.
Предположим, что .
Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом , i=1,…,r. (где i - номер строки):
где i=1,…,r, k=i+1, …, n.
Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и вычислить через них главные переменные, то мы получим все решения этой СЛАУ. ............
