ЛЕКЦИЯ № 12

ТИПОВЫЕСПОСОБЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ МНК НЕЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ В ЛИНЕЙНЫЕ

Подавляющее большинство процессов реального мира  носит линейный характер, поэтому область, использования линейных моделей весьма ограничена, в то же время для построения нелинейных моделей хорошо разработан математический аппарат. Рассмотрим некоторое преобразование, позволяющее при построении нелинейными функциями воспользоваться методом МНК для линейной функции.

Аппроксимируемая                     Линейная                    Замена

функция                                         функция

                                                

Вообще полиномы выше 6-ой степени при помощи МНК никогда не строят, т.к. появляются серьёзные ошибки округлений и раскачивания. На практике ограничиваются квадратической зависимостью.

 

МНК для системы линейно- независимых функций.

Пусть задана система линейно-независимых  функций одной переменной . Под линейно-независимой функцией понимаем такую систему, в которой ни одна из функций не может быть представлена в виде линейной комбинации остальных функций.

Задана f(x) таблично на [a;b] по системе  узлов xj ,yj=f(xj)

Рассмотрим приближение f(x) при помощи обобщенного многочлена:

                                                             (12.1)

Необходимо найти неизвестные коэффициенты из (12.1)

                                                            (12.2)

Критерий (12.2) представляет собой квадратичную функцию относительно параметров bi.

Запишем

                                                                            (12.3)

Получим

                                         (12.4)

Система (12.4) представляет собой СЛАУ относительно параметров bi и может быть решена одним из известных методов.

Рассмотрим один из частных случаев этой системы, когда функции  являются ортогональными.

Введем понятие скалярного произведения функции.

                                                                        (12.5)

Линейно-независимая система функций  является ортогональной если

Для системы ортогональных функций решение системы (12.4) получается элементарно.

                                                                                                (12.6)

Коэффициенты (12.6) называются коэффициентами Фурье, а многочлен (12.1) называется обобщенным многочленом Фурье.

Тригонометрические ряды и полиномы Фурье в использовании МНК

Для приближения тригонометрических функций в анализе используют тригонометрические ряды Фурье.

Периодической называется функция, для которой выполняется равенство:

f(x+KP)=f(x)

P-наименьший положительный период.

Пусть g(x) имеет P, тогда f(x)=g(Px/2π) будет иметь период 2π.

Пусть f(x) –функция, имеющая период 2π, тогда она может быть представлена рядом:

                                                                (12.7)

                                                                             (12.8)

(12.8) тригонометрический ряд Фурье.

                                                                  (12.9)

Коэффициенты Фурье могут быть получены также методом МНК для системы ортогональных линейно-независимых функций. ............