Міністерство освіти і науки України

Прикарпатський національний університет імені Василя Стефаника

Факультет математики та інформатики

кафедра диференціальних рівнянь і прикладної математики

Курсова робота на тему:

Деякі скінченно-різнецеві методи розв’язування

звичайних диференціальних рівнянь

Виконав:

студент групи ПМ-41

Васьків Святослав

Перевірив:

науковий керівник:

Василишин П.Б.

Івано-Франківськ 2010

План

Вступ.

1. Чисельна ітерація рівнянь Ньютона

2. Алгоритм Бімана і Шофілда

3. Метод Рунге-Кутта

a) Метод Рунге — Кутта 4-го порядку

б) Неявні схеми Рунге-Кутта

в) Неявні інтерполяційні схеми

г) Програма Рунге-Кутта на мові С#

д)  Програма Beeman

4. Метод Адамса

5.Метод  Крилова

6. Метод Чаплигіна

Висновок

Список використаної літератури

Вступ

Приведемо декілька найбільш відомих скінченно-різнецевих методів рішення рівнянь руху з непереривною силою. Важливо пам'ятати про те, що успішне використання чисельного метода визначається не лише тим, наскільки добре він наближає похідну на кожному кроці, але і тим, наскільки добре він апроксимує інтеграли руху, наприклад повну енергію. Безліч алгоритмів, використовуються в наш час, свідчить про те, що жоден метод не перевершує по усіх параметрах усіх інших.

1. Чисельна ітерація рівнянь Ньютона

Для спрощення запису розглянемо одновимірний рух частини і запишемо рівняння Ньютона у виді:

                           (1)

                         (2)

Метою усіх скінцеворізнецевих методів являється знаходження значень x n+1 і  v n+1(точка в "фазовому просторі") у момент часу tn+1=tn+∆t Нам вже відомо, що величину кроку ∆t  потрібно вибирати таким чином, щоб  метод інтегрування породжував приймати однакове рішення. Один із способів перевірки стійкості методу полягає в контролі величини повною енергії і забезпеченні того, щоби вона не відхилялася від початкового значення у разі, коли повна енергія зберігалась. Досить велике значення кроку приводить до не збереження повної енергії і до різних розв’язків для хn+1 i vn+1, тобто до таких розв’язків, які все більше відхиляються з потоком часу від  істинного розв’язку.

Суть багатьох алгоритмів, можна зрозуміти, розкладаючи

 vn+1 ≡ v(tn+∆t) i

xn+1 ≡ x(tn+∆t ) в ряд Тейлора. Запишемо

                    (3)

і

            (4)

Добре відомий метод Ейлера еквівалентний збереженню в формулі (3) членів

                      (5)

і

               (6)

Оскільки ми утримали у формулах (5-6) члени порядку ∆t, то «локальна» погрішність (погрішність на кроці) складає величину O(∆t)2

Оскільки ми від кроку до кроку погрішності накопичуються, позтому можна припускати, що «глобальна» погрішність, що є сумарною погрішністю за розглядом проміжок часу, буде величиной O(∆t). Ось ця оцінка погрішності цілком правдоподібна, оскільки число кроків, на яке розбивається часовий інтервал, пропорційна 1/∆t. Звідси випливає, порядок глобальної погрішності збільшується в ∆t разів по відношенню до локальної погрішності. Оскільки прийнято "говорити, що метод має n-й порядок аппроксимації, якщо ця локальна погрішність рівна О((∆t)n+1), то метод Ейлера відноситься до методів першого порядку.

Метод Ейлера являється асиметричним, оскільки він просуває вирішення на один часовий  крок ∆t, а використовує при цьому інформацію про похідну тільки в початковій точці інтервалу. ............