Задача №1
Даны вершины треугольника АВС.
Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты CD и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.
А(-7;5), В(5;-4), С(3;10).
Решение
1. Расстояние d между точками M1(x1;у1) и М2(х2;у2) определяется по формуле:
Подставив в эту формулу координаты точек А и В имеем:
2. Уравнение прямой, проходящей через точки М1(х1;у1) и М2(х2;у2), имеет вид:
Подставив в формулу (2) координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ:
Для нахождения углового коэффициента kab прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно у:
Отсюда
kab = - 3/4.
Подставив в формулу (2) координаты точек А и С, найдем уравнение прямой АС.
Для нахождения углового коэффициента kaс прямой АС разрешим полученное уравнение относительно у:
Отсюда
kaс = 1/2.
3. Угол α между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны k1 и k2, определяется по формуле:
Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (3), подставив в нее
k1= kab = -3/4, k2 = kac = 1/2.
< А = arctg 2 = 1,11 рад.
4. Так как высота CD перпендикулярна стороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т.е.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку М1(х1;у1) в заданном угловом коэффициенте k имеет вид:
у – у1 = k(х – х1).(4)
Подставив в формулу (4) координаты точки С и kcd = 4/3, получим уравнение высоты CD:
у – 10 = 4/3(х – 3) , у – 10 = 4/3х – 4 , 4х – 3у + 18 = 0. (CD)
Для нахождения длины CD определим координаты точки D, решив систему уравнений (АВ) и (СD):
Подставив в формулу (1) координаты точек C и D, находим:
СD= √(-3 -3)2 + (2 -10)2 = √36 + 64 = 10 .
5. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке E(a;b) имеет вид:
(х – а)2 + (у – b)2 = R2 (5)
Так как СD является диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка CD. Воспользовавшись формулами деления отрезка пополам, получим:
Следовательно E(0;6) и R = CD/2 = 5. Используя формулу (5), получим уравнение искомой окружности:
(х – 0)2 + (у – 6)2 = 25, х2 + (у – 6)2 = 25.
6. Множество точек треугольника АВС есть пересечение трех полуплоскостей, первая из которых ограничена прямой АВ и содержит точку С, вторая прямая ВС и содержит точку А, а третья ограничена прямой АС и содержит точку В. Для получения неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой АВ и содержащую точку С, подставим в уравнение прямой АВ координаты точки С:
3* 3+ 4*10 +1 = 50 > 0.
поэтому искомое неравенство имеет вид:
3х + 4у +1 ≥ 0.
Для составления неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой ВС и содержащую точку А, найдем уравнение прямой ВС, подставив в формулу (2) координаты точек В и С:
Подставив в последнее уравнение координаты точки А, имеем:
7* (- 7) + 5 – 31 = - 75 < 0.
Искомое неравенство будет
7х + у – 31 ≤ 0.
Подобным образом составим неравенство, определяющее полуплоскость, ограниченную прямой АС и содержащую точку В:
5 – 2(- 4) + 17 = 30 > 0.
Третье искомое неравенство
х – 2у + 17 ≥ 0.
Итак, множество точек треугольника АВС определяется системой неравенств:
Задача №2
Даны векторы a1 , a2 , a3 , b . ............
