Выполнила: Ильенко  Ульяна Игоревна, студентка 1 курса, математического факультета

Запорожский национальный университет

Запорожье, 2006 год

Трём векторам a, b и c можно поставить в соответствие вектор, равный a×(b×c). Этот вектор называют двойным векторным произведением векторов a, b и c. Двойное векторное произведение встречается в механике и физике.

Двойное векторное произведение выражается через линейную комбинацию двух или трёх своих сомножителей по формуле

a×(b×c) = b(ac) - c(ab).

Докажем это. Обозначим через x разность левой и правой частей этого равенства

x = a×(b×c) - b(ac) + c(ab).

Нам достаточно показать, что x = 0.

Предположим, что векторы b и c коллинеарны. Если они оба нулевые, то в выражении для вектора x все слагаемые равны нулевому вектору и поэтому равенство

x = 0 выполнено. Если же один из коллинеарных векторов b, c ненулевой, например c, то для другого вектора при некотором α є R выполнено равенство b=αc. Но тогда

x=a×(αc×c)-αc(ac)+cα(ac)=0.

Предположим теперь, что векторы b и c неколлинеарны. Тогда их векторное произведение не равно нулевому вектору и ортогонально ненулевому вектору b. Векторы

образуют правый ортонормированный базис в V3 (это и отражается в обозначениях). В этом базисе справедливы следующие разложения векторов:

b=|b|i , c = c1i+c2k , a = a1i + a2j + a3k ,

и поэтому

b×c = - |b|c2j , a×(b×c) = - |b|c2(a1k – a3i).

Кроме того,

ac = a1c1 – a3c2 , ab = a1|b|.

В результате находим, что и в случае неколлинеарных векторов b и c выполнено равенство

x= -|b|c2(a1k – a3i) – (a1c1 – a3c2)|b|i + a1|b|(c1i + c2k) = 0.

Произведение (a×b)×c ортогонально вектору a×b, то есть в случае, когда векторы a и b не коллинеарны, лежит в плоскости векторов a и b. Следовательно, оно разлагается по векторам a и b, то есть существуют такие два числа x и y, что

(a×b)×c=xa+yb.

Чтобы найти эти числа, мы воспользуемся леммой, согласно которой существуют положительно ориентированный ортонормированный базис е1, е2, е3 ,связанный с векторами a, b и с формулами

a=a1e1

b=b1e1+b2e2,

c=c1e1+c2e2+c3e3.

В этом базисе вектор a×b имеет координаты (0,0, a1b2) , и потому вектор (a×b)×c – координаты

Так как вектор xa+yb имеет координаты (xa1+yb1, yb2, 0), то, следовательно, формула (a×b)×c=xa+yb будет иметь место при

x = -b1c1 – b2c2 , y = a1c1.

Поскольку, с другой стороны, а1с1 = ас и b1c1+b2c2 = bc, этим доказано следующее предложение:

ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Для любых векторов a, b, c имеет место равенство (a×b)×c=(ac)b-(bc)a.

Из этой формулы непосредственно вытекает следующее тождество Якоби:

(a×b)×c+(c×a)×b+(b×c)×a=0.

Действительно, в силу коммутативности скалярного умножения

(ac)b-(bc)a+(cb)a-(ab)c+(ba)c-(ca)b=0.

С помощью формулы (a×b)×c=(ac)b-(bc)a легко вычисляется также скалярное произведение (a×b)(x×y) двух векторных произведений. Действительно пользуясь антикоммутативностью смешанного произведения, мы немедленно получим, что

(a×b)(x×y)=((xa)y-(ya)x)b=(xa)(yb)-(ya)(xb),

то есть

Определитель в правой части этой формулы называется взаимным определителем Грамма пар векторов a,b и x,y.

При a=x и b=y формула даёт формулу

которую можно переписать также в следующем изящном виде:

|a×b|2+|ab|2 = a2 b2.

Определитель в правой части предыдущей формулы называется определителем Грамма пары векторов a и b.

Поскольку |a×b| равно площади S параллелограмма, построенного на векторах a, b, формула

равносильна формуле

в которой векторные произведения явно не участвуют. Таким образом, мы видим, что определитель Грама пары векторов равен квадрату площади параллелограмма, построенного на этих векторах. ............