Министерство общего и профессионального образования Р.Ф.
    Иркутский государственный технический университет.
    
    Кафедра высшей математики.
    
    
     Реферат.
    
    
    Применение двойных интегралов к задачам механики и геометрии.
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    Выполнила: студентка
    группы ТЭ-97-1
    Мелкоступова С.С.
    
    Проверил преподаватель
    кафедры высшей математики
    Седых Е.И.
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    Иркутск 1998.
    
    
    
    
    
     Содержание.
    1.Объём цилиндрического тела. Двойной интеграл. 2. Вычисление двойных интегралов. a) примеры.
    3.Приложения двойных интегралов к задачам механики.
    а) масса плоской пластинки переменной плотности.
    б) статические моменты и центр тяжести пластинки.
    в) моменты инерции пластинки.
    4.Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов.
    а) Объём.
    б) Вычисление площади плоской области.
    5.Вычисление площади поверхности.
    а) Примеры.
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    1.Объём цилиндрического тела. Двойной интеграл.
    
    Цилиндрическим телом называется тело, ограниченное плоскостью Oxy, поверхностью, с которой любая прямая, параллельная оси Oz, пересекается не более чем в одной точке, и цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz.
    Область D, высекаемая в плоскости Oxy цилиндрической поверхностью, называется основанием цилиндрического тела (см. рис.1). В частных случаях боковая цилиндрическая поверхность может и отсутствовать; примером тому служит тело, ограниченное плоскостью Oxy и верхней полусферой .
    
    Рис. 1
    Обычно тело можно составить из некоторого числа цилиндрических тел и определить искомый объект как сумму объёмов цилиндрических тел, составляющих это тело.
    Прежде всего напомним два принципа, из которых мы исходим при определении объёма тела: 1) если разбить тело на части, то его объём будет равен сумме объёмов всех частей; 2) объём прямого цилиндра, т.е. цилиндрического тела, ограниченного плоскостью, параллельной плоскости Oxy, равен площади основания, умноженной на высоту тела.
    
    Пусть есть уравнение поверхности, ограничивающей цилиндрическое тело. Будем считать функцию непрерывной в области D и сначала предположим, что поверхность целиком лежит над плоскостью Oxy, т.е. ............