Элементарные конфортные отображения
    
    ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
    
    Краткая справка. Пусть имеются два множества комплексных точек и . Если задан закон , ставящий в соответствие каждому точку (или точки) , то говорят, что на множестве задана функция комплексной переменной со значениями в множестве . Обозначают это следующим образом: . (Часто говорят также, что отображает множество в множество .)
    Задание функции эквивалентно заданию двух действительных функций и тогда , где , . Как и в обычном анализе, в теории функций комплексной переменной очень важную роль играют элементарные функции. Рассмотрим некоторые из них.
    1. - линейная функция. Определена при всех . Отображает полную комплексную плоскость на полную комплексную плоскость . Функция и обратная ей - однозначны. Функция поворачивает плоскость на угол, равный , растягивает (сжимает) ее в раз и после этого осуществляет параллельный сдвиг на величину . Непрерывна на всей комплексной плоскости.
    2. . Определена на всей комплексной плоскости, причем , . Однозначна, непрерывна всюду, за исключением точки . Отображает полную комплексную плоскость на полную комплексную плоскость , причем точки, лежащие на единичной окружности, переходят в точки этой же окружности. Точки, лежащие внутри окружности единичного радиуса, переходят в точки, лежащие вне ее, и наоборот.
    3. - показательная функция. По определению , т.е. , , . Из определения вытекают формулы Эйлера:
    ; ; ;
    Определена на всей комплексной плоскости и непрерывна на ней. периодична с периодом . Отображает каждую полосу, параллельную оси , шириной в плоскости в полную комплексную плоскость . Из свойств отметим простейшие: ,
    4. - логарифмическая функция (натуральный логарифм). По определению: . Выражение называется главным значением , так что . Определен для всех комплексных чисел, кроме . - бесконечно-значная функция, обратная к . ,
    5. - общая показательная функция. По определению, . Определена для всех , ее главное значение , бесконечно-значна.
    6. Тригонометрические функции ;;; По определению, ; ;
    ;
    7. Гиперболические функции. Определяются по аналогии с такими же функциями действительной переменной, а именно:
    ,
    Определены и непрерывны на всей комплексной плоскости.
    
    Задачи с решением.
    1) Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел: , , , ,
    Решение. По определению, ,, ; если , то очевидно, , ,
    , ,
    , , ,
    , , ,
    Найти суммы:
    1)
    2)
    Решение. Пусть: , а
    . Умножим вторую строчку на , сложим с первой и, воспользовавшись формулой Эйлера, получим:
    ; Преобразуя, получим:
    ,
    3. Доказать, что: 1) 2)
    3) 4)
    Доказательство:
    1) По определению,
    2)
    3) ;
    Выразить через тригонометрические и гиперболические функции действительного аргумента действительные и мнимые части, а также модули следующих функций: 1) ; 2) ; 3) ;
    Решение: и, учитывая результаты предыдущего примера, получим:
    , , ,
    
    Напомним, что
    2)
    , ,
    
    3)
    , ,
    , .
    Найти действительные и мнимые части следующих значений функций: ; ;
    Решение. ............