Эрлангенская программа: прежде и теперь
    Переворот в геометрической науке, произведенный Феликсом Кляйном в конце 19 века, часто и справедливо сравнивают с реформой Евклида в античной геометрии. До Евклида был хаос (то есть, "газ") из разрозненных объектов и фактов древней науки. После него возник "кристалл" из тех же атомов (теорем, аксиом и определений), объединенных новыми логическими связями. Аналогично, до Кляйна была россыпь непохожих друг на друга кристаллов, синтезированных в разное время Евклидом, Гауссом, Лобачевским или Риманом. После Кляйна эта россыпь превратилась в упорядоченную коллекцию, где каждый экспонат задан своей группой допустимых преобразований интересующих нас фигур.
    20 век колоссально расширил эту коллекцию, введя в арсенал математиков бесконечное семейство новых групп и соответствующих им геометрий. Чтобы не утонуть в новом хаосе " "газе" из групп и однородных пространств, математикам пришлось упорядочить разные способы сравнения групп между собою. Так в 1900-е годы в трудах Исайя Шура возникла теория представлений групп; вскоре она стала важнейшей опорой теоретической физики и новых геометрий (бесконечномерных, или неархимедовых), которые Кляйн не мог вообразить в 1872 году.
    Двойной опыт Евклида и Кляйна в перестройке и упрощении высокоразвитой науки заслуживает рассмотрения с позиций обновленной физики. Если в обоих случаях мы имеем дело с фазовым переходом в структуре научной теории, то какова энергетика этого перехода" Можно ли описать его на языке Кляйна-Шура, сопоставив каждой геометрической теории некую группу допустимых преобразований каких-то фундаментальных объектов" Эти проблемы мы намерены обсудить.
    Вспомним, что система Евклида охватывала далеко не все факты и объекты греческой геометрии 4 века до н.э. Конические сечения (эллипс, парабола, гипербола) не упомянуты в "Началах" ни единым словом. Конечно, Евклид был недоволен таким положением дел. Известно, что он написал трактат о конических сечениях " но не сумел унифицировать его с логической структурой "Начал", поэтому трактат не сохранился. Вскоре Аполлоний повторил (или превзошел) этот труд Евклида; но его книгу о конических сечениях также не удалось стыковать с "Началами".
    Унификация этого разнообразия началась лишь в Новое время - в трудах Декарта, на базе итальянской алгебры 16 века и новой системы числовых координат на плоскости. Этот подход соединил две, казалось бы, независимые ветви математики: геометрию фигур и арифметику чисел. Понятно, что такой синтез вызвал восторг многих поколений молодежи: от Ньютона до Галуа, который сформировался как математик под влиянием учебников Лежандра по аналитической геометрии и алгебраической теории чисел.
    Итак, между реформой Евклида и реформой Кляйна геометрия пережила еще один фазовый переход: "координатную революцию" Декарта. В сфере исследований эта революция совершилась за одно поколение " между появлением книги Декарта (1637) и ньютоновским открытием исчисления флюксий и флюент (1667). Напротив " в учебный процесс идеи Декарта проникали долго и мучительно. Не случайно Ньютон изложил свои открытия в "Математических Принципах Натурфилософии" (1687) на сложном, но привычном геометрическом языке " вместо новой и простой, но не обоснованной алгебры степенных рядов, которая вела мысль Ньютона от одного открытия к другому. ............