Евклидова и неевклидова геометрия
    
    Содержание:
     Постулаты Евклида Попытки доказательства V постулата Евклида Кант об априорных понятиях Появление неевклидовой геометрии Янош Бояи. Геометрия Лобачевского Непротиворечивость геометрии Лобачевского Развитие евклидовой геометрии Список литературы: Постулаты Евклида
    Евклид - автор первого дошедшего до нас строгого логического построения геометрии. В нем изложение настолько безупречно для своего времени, что в течение двух тысяч лет с момента появления его труда "Начал" оно было единственным руководством для изучающих геометрию.
    "Начала" состоят из 13 книг, посвященных геометрии и арифметике в геометрическом изложении.
    Каждая книга "Начал" начинается определением понятий, которые встречаются впервые. Так, например, первой книге предпосланы 23 определения. В частности,
    Определение 1. Точка есть то, что не имеет частей.
    Определение 2. Линия есть длины без ширины
    Определение 3. Границы линии суть точки.
    Вслед за определениями Евклид приводит постулаты и аксиомы, то есть утверждения, принимаемые без доказательства.
    Постулаты
    I. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.
    II . И чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить.
    III. И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.
    IV. И чтобы все прямые углы были равны.
    V. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.
    Аксиомы
    I. Равные порознь третьему равны между собой.
    II. И если к ним прибавим равные, то получим равные.
    III. И если от равных отнимем равные, то получим равные.
    IV. И если к неравным прибавим равные, то получим неравные.
    V. И если удвоим равные, то получим равные.
    VI. И половины равных равны между собой.
    VII. И совмещающиеся равны.
    VIII. И целое больше части.
    IX. И две прямые не могут заключать пространства.
    Иногда IV и V постулаты относят к числу аксиом. Поэтому пятый постулат иногда называют XI аксиомой. По какому принципу одни утверждения относятся к постулатам, а другие к аксиомам, неизвестно.
    Никто не сомневался в истинности постулатов Евклида, что касается и V постулата. Между тем уже с древности именно постулат о параллельных привлек к себе особое внимание ряда геометров, считавших неестественным помещение его среди постулатов. Вероятно, это было связано с относительно меньшей очевидностью и наглядностью V постулата: в неявном виде он предполагает достижимость любых, как угодно далеких частей плоскости, выражая свойство, которое обнаруживается только при бесконечном продолжении прямых.
    
    Попытки доказательства V постулата Евклида
    Возможно, что уже сам Евклид пытался доказать постулат о параллельных. В пользу этого говорит то обстоятельство, что первые 28 предложений "Начал" не опираются на V постулат. ............