Задание
номер интервала границы интервалов t частота m свыше до(включительно) 1 57,997 57,999 2 2 57,999 58,001 2 3 58,001 58,003 8 4 58,003 58,005 25 5 58,005 58,007 33 6 58,007 58,009 50 7 58,009 58,011 65 8 58,011 58,013 71 9 58,013 58,015 32 10 58,015 58,017 37 11 58,017 58,019 26 12 58,019 58,021 6 13 58,021 58,023 3
1. Определение теоретической функции плотности распределения. Графическое изображение эмпирического и теоретического распределений
плотность распределение доверительный математический ожидание
При построении гистограмм и полигонов по оси абсцисс откладывают значения результатов измерений (середины интервалов xi), по оси ординат – частности появления результатов измерения в каждом i-м интервале.
Из-за ограниченности числа результатов измерений при обработке вместо математического ожидания и дисперсии получают их приближенные оценки– соответственно эмпирическое среднее и эмпирическую дисперсию S2, характеризующие средний результат измерений и степень разброса измерений. и S2 определяются из выражений:
Значения вероятности попадания результата измерения в конкретный интервал можно определить, используя значения функции:
,
где .
Тогда вероятность попадания результата в i-й интервал величиной h
.
Внесем все вычисления в таблицу и на основании полученных результатов построим кривую теоретического распределения, а так же гистограмму и полигон эмпирического распределения:
Середина интервала xi
Эмпирич. частости P’i
mixi
xi-
zi
mixi2
φi(z)
Pi
57,998 0,006 115,996 -0,01285 2,874965 6727,536 0,006399 0,002863 58 0,006 116 -0,01085 2,4275 6728 0,020956 0,009377 58,002 0,022 464,016 -0,00885 1,980034 26913,86 0,056179 0,025138 58,004 0,069 1450,1 -0,00685 1,532569 84111,6 0,123277 0,055162 58,006 0,092 1914,198 -0,00485 1,085103 111035 0,221427 0,099081 58,008 0,139 2900,4 -0,00285 0,637638 168246,4 0,325553 0,145674 58,01 0,181 3770,65 -0,00085 0,190173 218735,4 0,391793 0,175314 58,012 0,197 4118,852 0,00115 0,257293 238942,8 0,385954 0,172701 58,014 0,089 1856,448 0,00315 0,704758 107700 0,311212 0,139257 58,016 0,103 2146,592 0,00515 1,152223 124536,7 0,20541 0,091914 58,018 0,072 1508,468 0,00715 1,599689 87518,3 0,110976 0,049658 58,02 0,017 348,12 0,00915 2,047154 20197,92 0,049077 0,02196 58,022 0,008 174,066 0,01115 2,494619 10099,66 0,017765 0,007949 Сумма 20883,91 1211493
=
58,01085
S2=
1,99775E-05 S= 0,00446962
2. Критерий согласия эмпирического и теоретического распределений
Считают, что эмпирическое распределение хорошо согласуется с теоретическим, если (1 - g) больше 0,1. Согласно критерию Колмогорова, сравнивают эмпирические и теоретические значения, но уже не плотности распределения, а интегральной функции. Значение максимальной (по абсолютной величине) разности между ними DN подставляют в выражение:
,
где N – объем выборки.
Вычисление эмпирических F’i и теоретических Fi значений интегральной функции производим путем последовательного суммирования соответственно значений P’i и Pi. Результаты вычислений сведены в таблицу:
Номер интервала
Pi
P’i
Fi
F’i
Fi-Fi' 1 0,002863 0,005556 0,002863 0,005556 0,002692 2 0,009377 0,005556 0,01224 0,011111 -0,00113 3 0,025138 0,022222 0,037379 0,033333 -0,00405 4 0,055162 0,069444 0,092541 0,102778 0,010237 5 0,099081 0,091667 0,191622 0,194444 0,002823 6 0,145674 0,138889 0,337295 0,333333 -0,00396 7 0,175314 0,180556 0,512609 0,513889 0,00128 8 0,172701 0,197222 0,68531 0,711111 0,025801 9 0,139257 0,088889 0,824566 0,8 -0,02457 10 0,091914 0,102778 0,91648 0,902778 -0,0137 11 0,049658 0,072222 0,966138 0,975 0,008862 12 0,02196 0,016667 0,988098 0,991667 0,003568 13 0,007949 0,008333 0,996048 1 0,003952
DN= F'8 – F 8= 0,025801,
N=åmi=360,
Тогда получаем:
λ= 0,48953
Для lN=0,52 g » 0,05 Þ (1 – 0,05)=0,95 >0,1.
Отсюда можно сделать вывод: согласие эмпирического распределения с нормальным теоретическим можно считать хорошим.
3. Определение доверительных интервалов
В ряде задач, особенно при малом числе измерений, требуется не только найти эмпирическую оценку для того или иного параметра, но и определить доверительный интервал, в котором с доверительной вероятностью будет находиться теоретическое значение параметра.
Доверительный интервал для математического ожидания определяем из выражения:
интегральный доверительный интервал математический ожидание
Значения tγ табулированы и равняется tγ = 2,18 для N=13 и γ*=0,95.
58,00814756 <M< 58,01355244
Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения определяем из выражения:
Значения χ12, χ22 табулированы и определяется в зависимости от числа измерений N и односторонних вероятностей γ1, γ2:
Значение χ12 определяем при вероятности (1- γ1), χ22 – при γ2.
χ12=24,1 χ22=4,18
И тогда
0,003024897 <σ< 0,008194587
4. ............
