Геометрическая алгебра: машина времени Египет, Вавилон.
    Использование геометрических чертежей как иллюстрации алгебраических соотношений встречалось еще в Древнем Египте и Вавилоне. Например, при решении уравнений с двумя неизвестными, одно называлось "длиной", другое -"шириной". Произведение неизвестных называли "площадью". В задачах, приводящих к кубическому уравнению, встречалась третья неизвестная величина - "глубина", а произведение трех неизвестных именовалось "объемом".
    Однако нельзя позволить геометрическим терминам ввести нас в заблуждение. Вавилоняне мыслили, прежде всего, алгебраически. Хотя они изображали для наглядности неизвестные числа линиями и площадями, но последние всё же всегда оставались числами. Это проявлялось уже в том, что с неизвестными величинами, по названию имеющими различные измерения, обращались как с однородными: "площадь" складывали со "стороной", от "объема" отнимали "площадь" и так далее. Решение уравнений в Древнем Вавилоне.
    Древние египтяне и вавилоняне излагали свои алгебраические познания в числовой форме. Они не знали ни отрицательных чисел, ни, тем более комплексных и уравнения, не имеющие положительных корней ими не рассматривались. Все задачи и их решения излагались словесно.
    В одной из клинописных табличек встречается такая задача: "Я вычел из площади сторону моего квадрата, это 870" (нетрудно догадаться, что речь идет о квадратном уравнении x2-x=870).
    Решение его в табличке рекомендуется искать следующим образом: "Ты берешь 1, число. Делишь пополам 1, это. Умножаешь на, это. Ты складываешь это с 870, и это есть, что является квадратом для.Ты складываешь, которую ты умножал, с, получаешь 30, сторона квадрата".
    Все числа в табличке записаны в 60-ричной системе счисления, а мы приводим их в десятичной записи. В привычных нам обозначениях предложенные действия принимают вид:. В этой записи угадывается формула вычисления корней приведенного квадратного уравнения. Древняя Греция.
    Совсем другой вид приняла алгебра в Древней Греции. После открытия пифагорейцами несоизмеримых величин чертежи из средства наглядности превратились в основной элемент алгебры.
    Наиболее важным, среди приписываемых пифагорейцам 5 века до н.э. достижений, было открытие несоизмеримых отрезков.
    Возникало оно, скорее всего, из попыток найти общую меру диагонали и стороны квадрата.
    Это открытие потрясло основы пифагорейской философии. Ведь из него следует, что число не всемогуще, так как существуют отрезки, отношение которых не выражается отношением целых чисел (а других чисел пифагорейцы не знали).
    Оказалось, что если не выходить за рамки пифагорейского учения о числе, то многие задачи, приводящие к квадратным уравнениям, вообще не имеют числового решения.
    Даже такое простое уравнение, как x2=2, не может быть решено ни в области целых чисел, ни даже в области отношений чисел. Но оно оказывалось вполне разрешимым в области прямолинейных отрезков: его решением являлось диагональ квадрата со стороной, равной единице.
    Не решаясь изменить свою трактовку числа, пифагорейцы перешли из области чисел в область геометрических величин, построив соответствующее исчисление. ............