Геометрия Лобачевского Выполнили Исаев Андрей, Гурьев Дмитрий
    "Начала" - величайший памятник деятельности Евклида, в котором он собрал воедино всё то, что сделали его предшественники в области геометрии и "словесной алгебры". Но не только в этом его заслуга. Он также внёс много своего, нового, оригинального. Вплоть до XX в. геометрию в школах преподавали по учебникам, в которые были включены евклидовы "Начала", переведённые и литературно обработанные.
    Однако не всё написанное Евклидом удовлетворяло живших после него математиков. Великолепной была его попытка дать аксиоматическое изложение геометрии, т.е. сформулировать небольшое количество аксиом, из которых логически выводятся все теоремы геометрии. Список аксиом сразу же подвергся критике, некоторые из них оказались совсем не нужными, например, что "все прямые углы равны между собой".
    Так называемый пятый постулат Евклида вызвал особые нарекания математиков. Именно эта аксиома, как показала историческое развитие науки, содержала в себе зародыш другой, неевклидовой геометрии.
    Вот о чём говорится в пятом постулате: Если две прямые a и b образуют при пересечении с третьей прямой внутренние односторонние углы ? и ?, сумма величин которых меньше двух прямых углов (т.е. меньше 180?; рис 1), то эти две прямые обязательно пересекаются, причём именно стой стороны от третьей прямой, по которую расположены углы ? и ? (составляющие вместе не менее 180?).
    Данное утверждение заметно сложнее остальных аксиом. Потому-то пятый постулат часто замеряют на равносильную аксиому параллельности: к данной прямой через данную вне её точку можно провести не более одной параллельной прямой.
    Вообразим. Что мы взяли две точки А и В на расстоянии 1 м друг от друга и провели через них две прямые a и b, причём так что a образует с прямой АВ равен 89?59?59? (рис. 2).
    Иначе говоря, сумма двух внутренних односторонних углов ? и ? всего на одну угловую секунду меньше 180?. Продолжим прямые ? и ?, пока они не пересекутся в точке С. В результате получится прямоугольный треугольник АВС, у которого угол А прямой, угол при вершине С равен ? и составляет 1 угловую секунду. Катет АС этого треугольника имеет длину с/tg ?, где с = 1 м. С помощью калькулятора нетрудно подсчитать, что 1/tg ? ? 2,06 • 105 . Следовательно, длина катета АС составляем приблизительно 2,06 • 105 = 206 км.
    Угол в 1 угловую секунду достаточно ощутим (например при астрономических расчётах). Но проверить две указанные выше прямые ? и ? пересекаются на расстоянии206 км от прямой АВ, совсем не просто. Ведь изготовить плоский лист бумаги и линейку длиной более 200 км не предоставляется возможным. Использовать оптические приборы? Но тогда надо будет добавить ещё один постулат: свет распространяется по прямой (а это уже физика). А если сумма углов ? и ? отличается менее чем на 1 угловую секунду? Как видит, пятый постулат Евклида не так уж прост и убедителен.
    Сложность формулировки пятого постулата и его неубедительность привели к тому, что очень многие математики, жившие после Евклида, старались исключить этот постулат из списка аксиом, т.е. доказать его как теорему с помощью остальных аксиом Евклида. В "сражениях" с пятым постулатом особенно далеко продвинулись Ламберт, Саккери и Лежандр. ............