Группы преобразований
    
    1.Перемещения
    Пусть X - множество всех точек прямой , плоскости или трехмерного пространства . Обозначим через d(P, Q) расстояние между точками P и Q множества X. Отображение f: X ? X f(P) = ( называется перемещением, если для всех P и Q d(P, Q) = d((, ().
    Примеры.
    1. Пусть в выбрана правая декартова прямоугольная система координат (x, y) с началом О. Поворот плоскости на угол ? вокруг точки О задается формулами ( = R. Здесь ( = , R = . Очевидно, поворот является перемещением плоскости.
    Отметим, что (О) =О, то есть точка О остается неподвижной при повороте. Аналогично, в можно рассмотреть поворот на угол ? вокруг оси, заданной единичным вектором ? и точкой О. Легко проверить, что это перемещение задается формулой: ( =Rcos? + (R??)sin? +?(1-cos?)(R??) . Все точки оси поворота являются неподвижными.
    2. Перемещением будет и параллельный перенос на вектор v , Очевидно,
    ( = R +v . Неподвижных точек перенос не имеет.
    3. Пусть l некоторая прямая в . (Зеркальное) отражение относительно этой прямой является перемещением. Если в декартовой прямоугольной системе координат уравнение прямой имеет вид y = tg(?/2) x , то отражение задается формулой : ( = R . Аналогично, если ? некоторая плоскость в , то отражение относительно этой плоскости будет перемещением. Если n единичный вектор нормали к плоскости ? , проходящей через начало координат, то ( = R - 2(R?n)n .
    Переносы и отражения (примеры 2 и 3) можно рассматривать и в .
    4. Композиция U?V (последовательное выполнение ) двух перемещений U и V снова будет перемещением: (U?V)(P) = U(V(P)). Например, = ? = ( - тождественное перемещение.
    2. Связь с линейными операторами.
    Теорема 1
    Пусть f: X ? X - перемещение, A, B, C, D - точки X, f(A) = ( и т.д. Если AB = CD (как свободные векторы), то (( = (( .
    Доказательство.
    Достаточно проверить, что в условиях теоремы четырехугольник (((( является параллелограммом. Пусть О точка пересечения диагоналей AD и BC. Принадлежность точки О отрезку АD равносильно равенству: d(A, O) + d(O, D) = d(A, D). Поскольку для образов этих точек имеет место аналогичное равенство d(( , () + d((, () = d(( , () , мы видим, что ( лежит на отрезке (( и делит его пополам, поскольку d(( , () = d(A ,O) = 1/2 d(A ,D) = 1/2 d(( , () . Аналогично, ( лежит на (( и делит его пополам. Следовательно, (((( - параллелограмм.
    Из теоремы 1 следует, что если - пространство свободных векторов, то для всякого перемещения f: X ? X определено отображение: f*: V ? V.
    Отметим, что если О - некоторая фиксированная точка X, то для любой точки P точка f(P) получается из ( переносом на вектор f*(OP). Отсюда вытекает, что перемещение f однозначно определяется отображением f* и точкой ( .
    Теорема 2.
    Отображение f* является линейным оператором в V и сохраняет скалярное произведение.
    Доказательство.
    Свойство f*(u + v) = f*(u) +f*(v) следует из определения сложения векторов : если u = AB , v = BC , то u + v = AC. Так как при перемещении любой треугольник ABC переходит в равный треугольник, то сохраняются не только длины, но и углы между векторами, а значит и скалярное произведение. Наконец, использую сохранение скалярного произведения, имеем: = -2+ = - 2+ =0. Следовательно, f*(?v) = ?f*(v) , то есть отображение f* линейно.
    Следствие
    Отображение евклидова пространства V, обладающее свойством является линейным оператором и сохраняет скалярное произведение. ............