«Интегрирование уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил»
Задание: На наклонном участке АВ трубы на груз D, массой m действуют сила тяжести и сила сопротивления R, расстояние от точки А, где V=V0, до точки В, равно L. На горизонтальном участке ВС на груз действует сила тяжести и переменная сила F = F(t).
Дано:
m = 4, кг
V0 = 12, м/с
Q = 12, Н
R = 0,8V2, Н
L = 2.5, м
Fx = -8cos(4t), Н
Определить:
Закон движения груза на участке ВС ( x = f(t) ).
Решение:
1. Пусть груз – материальная точка. Изобразим и . Проведем ось Ax и составим дифференциальное уравнение в проекции на эту ось:
Далее находим:
Учитывая, что Vx = V:
или
Выведем:
где g = 10 м/с.
Тогда:
Разделяя переменные и интегрируя:
По Н.У. при x = 0: V = V0, откуда:
;
Получим:
;
Откуда:
и
В результате:
Полагая, что x=L=2.5 и заменяя k и n определим VB:
2. Рассмотрим движение на BC.
Рассмотрим движение ВС (V0 = V). Изобразим , , и .
или , где
При t=0; V = V0 = VB = 8.29 м/с:
С2 = VB = 8.29 м/с.
К-3 Вариант 18
авр
А
aA Cv
авр
ac
ацс
Eoa aцс C
aB
Woa
aB О В
Y
aB
X
Дано: ОА=10 АВ=10 АС=5 Woa=2 EOA=6
Найти: Ускорения во всех точках
Va=Woa*OA=20
Va=Wao*Acv=Wab*AB*sin45
Wab=Va/Cva=4/21/2
Vb=Wab*BCv=Wab*AB*cos45=20
Vc=Wab*CCv=21/22*BC/2ctg45=521/2/2
aAbp= Eoa*OA=60
aAцс=WOA2*OA=40
aBцс= WOA2*AB=80
aB= aAbp +aAцс +aABЦС +aABbp
X: 21/2/2*aB= aAцс +aABBP
Y: 21/2/2*aB= aABP +aABЦС
aABBP =========== ==MOI===\KOI0-U=140-40=100
EAB=100/10=10
aB= aAвp +aAцс +aACЦС +aACвp
aACвp = EAB*АВ=50
aACЦС= WAВ2*АС=40
X: 21/2/2*ac= aAцс +aABBP
Y: 21/2/2*ac= aABP +aABЦС
aC=( acx2 +acy2)1/2
«Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения».
Задание: По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и
для момента времени t = t1 (c) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а так же радиус кривизны траектории.
Исходные данные:
Решение:
Для нахождения траектории точки, возведем в квадрат и приравняем левые части уравнений движения, предварительно выделив из них cos и sin соответственно, в результате получим:
- траектория точки в координатной форме.
Траектория представляет из себя окружность радиуса r=3 см.
Найдем проекции скорости и ускорения на оси координат дифференцируя по времени уравнения движения:
По найденным проекциям определяются модуль скорости и модуль ускорения точки:
Найдем модуль касательного ускорения точки по формуле:
-выражает проекцию ускорения точки на направление ее скорости. ............
