Министерство образования РФ

Новосибирский Государственный Технический Университет

Кафедра экономической информатики

Курсовая работа

по дисциплине "Численные методы"

Тема: Исследование метода продолжения решения по параметру для нелинейных САУ

Группа:

Выполнил:

Проверила: Сарычева О.М.

Новосибирск 2011 г.

Содержание

Введение

1. Постановка задачи (математическое описание метода)

2. Описание программного обеспечения

2.1 Общие сведения и требования к ПО и описание логической структуры

3. Описание тестовых задач

4. Анализ результатов

Заключение

Используемая литература

Введение

В данной курсовой работе будет рассмотрен метод продолжения решения по параметру, с помощью которого можно эффективно находить корни нелинейных САУ. В работе исследуется влияние вектора начальных приближений x0 и заданной точности решения εgon на число итераций, время счета и сходимость метода. Так же дается описание программного обеспечения и тексты программ, использованные в данной работе для построения графиков сходимости метода для различных начальных значений вектора x0, графики ошибки.

 

1. Постановка задачи (математическое описание метода)

 

Метод продолжения решения по параметру является наиболее универсальным при решении нелинейных САУ. Пусть t - параметр, меняющийся от 0 до1. Введем в рассмотрение некоторую САУ

H (x, t) =0,

такую, что:

1)  При t=0 система H (x, 0) =0 имеет решение x0;

2)  При t=1 система H (x, 1) =0 имеет решение x*;

3) Вектор-функция H (x, t) непрерывна по t. Тогда меняя t от 0 до 1 и решая для каждого ti систему H (x, ti) =0, например, методом Ньютона, можно найти последовательно x0, x1, x2, …, x*.

Так как x0 при t=0 известно, то всегда можно найти t1, достаточно близкое к t0, при котором будут выполняться условия сходимости, например, метода Ньютона. Аналогично можно обеспечить условия сходимости метода Ньютона и для t2, t3,…, t=1.

Вектор-функция H (x, t) может быть выбрана различными способами. Рассмотрим три распространенных варианта:

1)  H (x, t) =F (x) + (t-1) *F (x0) =0

При t=0 получаем: F (x0) - F (x0) =0, т.е. условие 1) выполнено.

При t=1 F (x*) - (1-1) * F (x0) =F (x*) =0. И, наконец, вектор-функция H (x, t) непрерывна по t.

2)  H (x, t) =t*F (x).

Условия 1) - 3) соблюдаются и для этой вектор-функции.

Идея метода состоит в следующем. Полагаем t1=∆t и решаем систему H (x, t1) =0 при выбранном x0. Получаем xt1. Далее, берем его в качестве начального приближения и решаем при новом t2=t1+∆t систему H (x, t2) =0, получаем xt2 и так далее до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность. Нелинейные системы H (x, ti) =0 на каждом шаге по t решаются, например, методом Ньютона, который обычно сходится, так как xti-1 и xti лежат близко друг к другу. Если несмотря на это решение xti не получается за 6-7 итераций, ∆t уменьшается и система H (x, ti) =0 решается снова.

Последовательность шагов реализации алгоритма состоит в следующем:

Шаг 1. Формирование системы H (x, t) =0.

Шаг 2. Выбор начального приближения x0, (например, x0=0) и точности решения εgon.

Шаг 3. Полагаем i=1.

Шаг 4. Вычисляем ti=ti-1+∆t (обычно вначале берут ∆t=0,1)

Шаг 5. ............