Исторические проблемы математики. Число и арифметическое действие А.И. Сомсиков Определение чисел
    Всякий раз, когда встречается ситуация, описание которой, в силу ее сложности, затруднительно и требует многих слов, описание заменяется специальным термином (наименованием ситуации) с целью достижения краткости и связанной с ней ясности во всякого рода суждениях об этой ситуации, в которых она должна фигурировать в качестве члена предложения.
    Сказанное относится, в частности, и к ситуациям, связанным с наличием интересующих нас объектов (ИНО).
    Так, например, отсутствие ИНО обозначается термином "ноль", говорят: "имеется ноль объектов" или "задано число ноль" вместо: "ИНО не имеется", "ИНО отсутствуют".
    Другая интересующая нас ситуация (ИНС): "ИНО имеется и, кроме него, нет никаких других объектов, подпадающих под определение ИНО" коротко обозначается термином "один", говорят: "имеется один объект" или "задано число один", не прибегая к описанию ситуации.
    ИНС: "ИНО имеется и кроме него имеется еще и другой объект, подпадающий под определение ИНО, и, кроме упомянутых, никаких других объектов, подпадающих под определение ИНО, не имеется" обозначается термином "два", говорят: "имеется два объекта" или "задано число два".
    Следующая ИНС: "имеется два ИНО и кроме них имеется еще один объект, подпадающий под определение ИНО и, кроме упомянутых, никаких других объектов, подпадающих под определение ИНО, не имеется" обозначается термином "три", говорят еще: "имеется три ИНО" или "задано число три" и т.д.
    Числа, таким образом, это наименования различных ИНС, касающихся наличия ИНО.
    Итак, мы знаем, что такое число. Определения математики
    Здесь все обстоит очень просто.
    В математике нет прямого определения чисел. Ни предварительного, требующего уточнений, как у Евклида, ни окончательного. Вообще никакого.
    Есть утверждения о "многовековом опыте абстрагирования и обобщений" человечества, т.е. не математиков. Уживающиеся с противоположными утверждениями о неспособности к абстрагированию "дикарей", т.е. того же человечества на большей части его истории.
    Изредка об этом говорится прямо. Например:
    "Понятие о натуральном числе является одним из простейших понятий. Его можно пояснить лишь предметным показом.
    Примечание: Евклид (III в до н.э.), определял число (натуральное) как "множество, составленное из единиц"; такого рода определения можно найти и во многих нынешних учебниках. Но слово "множество (или "собрание" или "совокупность" и т.п.) отнюдь не понятнее слова "число"" [ 1 ].
    Здесь термин "элементарная математика" использован для введения в заблуждение. Чтобы изучающий постеснялся задавать какие-либо вопросы. То есть для его отключения, поскольку здесь все ведь "элементарно". Из-за такого намеренного отключения вопрос этот до сих пор остается все еще не решенным. Хотя освоивший "элементарную" математику считается имеющим не элементарное, а уже "среднее" образование. Но и при "высшем" образовании к этому больше не возвращаются. Такой вопрос считаются вполне изученным еще на "элементарном" уровне. Или предметом излишних философских умствований.
    Это первый универсальный способ сокрытия незнания: то, что не удается определить, следует называть очевидным или элементарным.
    В математике "знание чисел" сводится к знанию правил обращения с ними. ............