Содержание
Введение
1. Гиперболические уравнения как подкласс дифференциальных уравнений в частных производных. Классификация уравнений в частных производных
2. Классификация уравнений гиперболического типа в контексте классификации уравнений математической физики
2.1 Волновое уравнение
2.2 Уравнение теплопроводности
2.3 Интегро-дифференциальные уравнения
3. Применение различных методов решения в зависимости от видов гиперболических уравнений 3.1 Явная разностная схема
3.2 Неявная разностная схема
Заключение
Список литературы
Введение
Настоящая курсовая работа посвящена классификации гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных.
Актуальность тематики исследования обусловлена широким кругом практических приложений гиперболических уравнений.
Целью настоящей курсовой работы является приведение классификации гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных.
Задачами работы являются:
1. Рассмотреть классификацию гиперболических уравнений в рамках общей классификации уравнений математической физики.
2. Привести собственно классификацию гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных.
3. В связи с приведенной классификацией гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных описать применение методов решения уравнений.
Изучением дифференциальных уравнений в частных производных занимается математическая физика. Основы теории этих уравнений впервые были изложены в знаменитом «Интегральном исчислении» Л. Эйлера.
Классические уравнения математической физики являются линейными. Особенность линейных уравнений состоит в том, что если U и V – два решения, то функция aU + bV при любых постоянных a и b снова является решением. Это обстоятельство позволяет построить общее решение линейного дифференциального уравнения из фиксированного набора его элементарных решений и упрощает теорию этих уравнений.
Современная общая теория дифференциальных уравнений занимается главным образом линейными уравнениями и специальными классами нелинейных уравнений. Основным методом решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных выступает численное интегрирование.
Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением различных физических процессов. Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике, теории упругости, электродинамике и т.д. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики.
Постановка задач математической физики, будучи тесно связанной с изучением физических проблем, имеет свои специфические черты. Так, например, начальная и конечная стадии процесса носят качественно различный характер и требуют применения различных математических методов.
