Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины"

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

КЛАССЫ КОНЕЧНЫХ ГРУПП , ЗАМКНУТЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОБОБЩЕННО СУБНОРМАЛЬНЫХ -ПОДГРУПП

Курсовая работа

Исполнитель:

Студентка группы М-43 МОКЕЕВА О. А.

Научный руководитель:

доктор ф-м наук, профессор Семенчук В.Н.

Гомель 2008

Содержание

Перечень условных обозначений

Введение

1 Некоторые базисные леммы

2 Критерий принадлежности факторизуемой группы

классическим классам конечных групп

3 Сверхрадикальные формации

Заключение

Список использованных источников

Перечень условных обозначений

Рассматриваются только конечные группы. Вся терминология заимствована из [44, 47].

 --- множество всех натуральных чисел;

 --- множество всех простых чисел;

 --- некоторое множество простых чисел, т. е. ;

 ---

дополнение к  во множестве всех простых чисел; в частности, ;

примарное число --- любое число вида .

Буквами  обозначаются простые числа.

Пусть  --- группа. Тогда:

 --- порядок группы ;

 ---

множество всех простых делителей порядка группы ;

-группа --- группа , для которой ;

-группа --- группа , для которой ;

 --- коммутант группы , т. е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;

 --- подгруппа Фиттинга группы , т. е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;

 --- наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы ;

 --- подгруппа Фраттини группы , т. е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;

 --- наибольшая нормальная -подгруппа группы ;

 --- -холлова подгруппа группы ;

 --- силовская -подгруппа группы ;

 --- дополнение к силовской -подгруппе в группе , т. е. -холлова подгруппа группы ;

 --- нильпотентная длина группы ;

 --- -длина группы ;

 --- минимальное число порождающих элементов группы ;

 --- цоколь группы , т. е. подгруппа, порожденная всеми минимальными нормальными подгруппами группы ;

 --- циклическая группа порядка .

Если  и  --- подгруппы группы , то :

 ---  является подгруппой группы ;

 ---  является собственной подгруппой группы ;

 ---  является нормальной подгруппой группы ;

 --

- ядро подгруппы  в группе , т. е. пересечение всех подгрупп, сопряженных с  в ;

 --- нормальное замыкание подгруппы  в группе , т. е. подгруппа, порожденная всеми сопряженными с  подгруппами группы ;

 --- индекс подгруппы  в группе ;

;

 --- нормализатор подгруппы  в группе ;

 --- централизатор подгруппы  в группе ;

 --- взаимный коммутант подгрупп  и ;

 --- подгруппа, порожденная подгруппами  и .

Минимальная нормальная подгруппа группы  --- неединичная нормальная подгруппа группы , не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы ;

 ---  является максимальной подгруппой группы .

Если  и  --- подгруппы группы , то:

 --- прямое произведение подгрупп  и ;

 --- полупрямое произведение нормальной подгруппы  и подгруппы ;

 ---  и  изоморфны;

 --- регулярное сплетение подгрупп  и .

Подгруппы  и  группы  называются перестановочными, если .

Группу  называют:

-замкнутой, если силовская -подгруппа группы  нормальна в ;

-нильпотентной, если -холлова подгруппа группы  нормальна в ;

-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо -группы, либо -группы;

-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо циклической группой;

нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;

разрешимой, если существует номер  такой, что ;

сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.

Монолитическая группа --- неединичная группа, имеющая единственную минимальную нормальную подгруппу.

-замкнутая группа --- группа, обладающая нормальной холловской -подгруппой.

-специальная группа --- группа, обладающая нильпотентной нормальной холловской -подгруппой.

-разложимая группа --- группа, являющаяся одновременно -специальной и -замкнутой.

Группа Шмидта --- это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.

Добавлением к подгруппе  группы  называется такая подгруппа  из , что .

Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп.

Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.

Ряд подгрупп  называется:

субнормальным, если  для любого ;

нормальным, если  для любого ;

главным, если  является минимальной нормальной подгруппой в  для всех .

Класс групп --- совокупность групп, содержащая с каждой своей группой  и все ей изоморфные группы.

-группа --- группа, принадлежащая классу групп .

Формация --- класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений.

Если  --- класс групп, то:

 --- множество всех простых делителей порядков всех групп из ;

 --- множество всех тех простых чисел , для которых ;

 --- формация, порожденная классом ;

 --- насыщенная формация, порожденная классом ;

 --- класс всех групп , представимых в виде

где , ;

;

 --- класс всех минимальных не -групп, т. ............