Для изучения предлагаются понятия кольца, коммутативного кольца и области целосности, гомоморфизма и изоморфизма колец, подкольца, а так же свойства кольца целых чисел.

п.1. Понятие кольца.

Определение. Алгебра , где - бинарные операции, - унарная операция,  называется кольцом, если выполнены аксиомы.

I. - абелева группа.

1)  

2)  

3)  

4)  

II. 1)  - ассоциативность умножения.

2) законы дистрибутивности:  - левый дистрибутивный закон,  - правый дистрибутивный закон.

- называется аддитивной группой кольца.

Определение. Кольцо  называется кольцом с единицей , если существует   

Определение. Кольцо  называется коммутативным, если  

Определение. Элементы  называются делителями , если

Определение. Кольцо  называется областью целостности, если оно обладает свойствами:

Кольцо - коммутативно.

Кольцо  с единицей , где .

Кольцо не имеет делителей нуля.

п.2. Примеры колец.

Рассмотрим . Операции - бинарная операция на множестве , операция - унарная операция на множестве , , значит - алгебра. Аксиомы кольца на множестве  выполнены, это следует из свойств целых чисел, значит - кольцо. Это кольцо с единицей 1, так как  и  . Это коммутативное кольцо, так как  . Это кольцо без делителей нуля. Кольцо целых чисел является областью целостности.

Пусть - множество целых чётных чисел, - алгебра, кольцо без единицы, коммутативное, без делителей нуля, не является областью целостности.

- проверим, будет ли на множестве - кольцо.

  - бинарная операция на множестве .

 - бинарная операция на множестве .

 - унарная операция на множестве .  

Значит - алгебра.

Аксиомы кольца для данной алгебры выполнены, так как , а на  аксиомы выполнены (из свойств действительных чисел), значит - это кольцо.

.  . Кольцо с единицей - это коммутативное кольцо без делителей нуля, является областью целостности.

Пусть . Определим операции  , ; , .

- бинарные операции на множестве  

  значит   - унарная операция на множестве .

 , , значит - алгебра. Проверим, является ли эта алгебра кольцом. Для этого проверим аксиомы кольца. Равенство - равенство функции:  из определения операций. Рассмотрим произведение , вычислим значения левой и правой частей от  а) б) . Аналогично проверяется, что все аксиомы кольца выполнены, значит  является кольцом. Это кольцо с единицей  . Действительно,   (свойство единицы). Это коммутативное кольцо, так как  . Покажем, что это кольцо с делителями нуля. Пусть , , ,  (нулевая функция). Вычислим  (равно нулевой функции). Значит , - делители нуля, значит кольцо - не является областью целостности.

п.3. Простейшие свойства кольца.

Пусть - кольцо. Выпишем и проверим аксиомы кольца:

 .

Доказательство. - абелева группа, имеем  

 .

Доказательство. ............